20 Duas hastes do mesmo comprimento e material transferem uma determinada quantidade de calor em 12 segundos quando unidas em série. Em quanto tempo transferirão a mesma quantidade de calor, nas mesmas condições de temperatura, quando são unidos em paralelo?
SOLUÇÃO
Seja Q o calor transferido. Se k é o coeficiente de condutibilidade térmica de cada haste, então o coeficiente de condutibilidade térmica quando associadas em série é 2 k . Se
é o tempo de transferência de calor, teremos:
O coeficiente de condutibilidade térmica quando associadas em paralelo é
. Se
é o tempo de transferência de calor, teremos:
Como
SOLUÇÃO
Seja Q o calor transferido. Se k é o coeficiente de condutibilidade térmica de cada haste, então o coeficiente de condutibilidade térmica quando associadas em série é 2 k . Se
Como
Passo 1
O enunciado dá: duas hastes idênticas (mesmo comprimento
, mesma área da seção
e mesmo material com condutividade térmica
) transferem uma certa quantidade de calor
em
segundos quando estão ligadas em série. Mantendo as mesmas diferenças de temperatura nas extremidades, pergunta-se em quanto tempo transferirão a mesma quantidade
quando as hastes forem ligadas em paralelo. Informações importantes que vamos usar:
(tempo em série), queremos
(tempo em paralelo). As outras quantidades
são as mesmas nos dois arranjos.
Passo 2
Apresento a lei básica que usamos aqui (Lei de Fourier para condução estacionária unidimensional): a taxa de transferência de calor através de uma barra homogênea é
onde
é a quantidade de calor transferida no tempo
,
é a condutividade térmica do material,
é a área da seção transversal da barra,
é a diferença de temperatura entre as extremidades e
é o comprimento da barra. Vou explicar cada termo rapidinho:
mede a facilidade do material em conduzir calor (quanto maior, mais fácil),
quanto maior, mais “corredores” para o calor passar,
é a força motriz do fluxo de calor (maior diferença gera mais fluxo) e
é a distância que o calor tem que atravessar (quanto maior
, mais difícil).
Passo 3
Agora vamos aplicar essa fórmula ao caso das duas hastes em série. Quando duas hastes idênticas, cada uma de comprimento
, são colocadas em série (una uma na outra entre as temperaturas), o calor atravessa um comprimento total
com a mesma área
e mesma condutividade
. Substituindo na fórmula, a taxa de transferência no arranjo em série é
Multiplicando ambos os lados por
para escrever
, obtemos
Passo 4
Agora o caso paralelo. Quando as duas hastes idênticas são colocadas em paralelo (lado a lado ligando as mesmas duas temperaturas), cada haste tem comprimento
, área
e condutividade
, e ambas conduzem calor simultaneamente. A condutância total é a soma das condutâncias das hastes; equivalentemente, é como se a área efetiva fosse
. Assim a taxa de transferência no arranjo paralelo é
Multiplicando por
,
Passo 5
Como o enunciado pede o tempo para transferir a mesma quantidade de calor
nas duas situações, igualamos as expressões de
obtidas nos passos anteriores:
Podemos simplificar muito:
,
,
e
são todos positivos e aparecem em ambos os lados, então cancelamos-os. Para ver o cancelamento passo a passo, divida ambos os lados por
; o lado esquerdo fica
e o direito fica
. Assim obtemos a relação simples
Passo 6
Da relação do passo anterior resolvemos para
:
Agora substituímos
:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: faz sentido físico — em paralelo há mais caminho para o calor (duas hastes ao mesmo tempo), então o mesmo calor passa em menos tempo; aqui exatamente quatro vezes mais rápido, indo de
para
. Você chegou até aqui, está indo bem — isso é o tipo de raciocínio que cai muito em prova: modelar por meio da lei de condução, comparar condutâncias e cancelar termos iguais.