20 Duas hastes do mesmo comprimento e material transferem uma determinada quantidade de calor em 12 segundos quando unidas em série. Em quanto tempo transferirão a mesma quantidade de calor, nas mesmas condições de temperatura, quando são unidos em paralelo?
SOLUÇÃO
Seja Q o calor transferido. Se k é o coeficiente de condutibilidade térmica de cada haste, então o coeficiente de condutibilidade térmica quando associadas em série é 2 k . Se \mathrm{t}_{1} é o tempo de transferência de calor, teremos:
\mathrm{Q}_{1}=\frac{2 \mathrm{k} \cdot \mathrm{A} \cdot \Delta \mathrm{T} \cdot \mathrm{t}_{1}}{\mathrm{~L}}
O coeficiente de condutibilidade térmica quando associadas em paralelo é \mathrm{k} / 2. Se \mathrm{t}_{2} é o tempo de transferência de calor, teremos:
\mathrm{Q}_{2}=\frac{\frac{\mathrm{k}}{2} \cdot \mathrm{~A} \cdot \Delta \mathrm{~T} \cdot \mathrm{t}_{2}}{\mathrm{~L}}
Como \mathrm{Q}_{1}=\mathrm{Q}_{2}
\frac{2 \mathrm{k} \cdot \mathrm{A} \cdot \Delta \mathrm{T} \cdot \mathrm{t}_{1}}{\mathrm{~L}}=\frac{\frac{\mathrm{k}}{2} \cdot \mathrm{~A} \cdot \Delta \mathrm{~T} \cdot \mathrm{t}_{2}}{\mathrm{~L}}
\mathrm{t}_{2}=4 \mathrm{t}_{1}

Passo 1

O enunciado dá: duas hastes idênticas (mesmo comprimento L, mesma área da seção A e mesmo material com condutividade térmica k) transferem uma certa quantidade de calor Q em 12 segundos quando estão ligadas em série. Mantendo as mesmas diferenças de temperatura nas extremidades, pergunta-se em quanto tempo transferirão a mesma quantidade Q quando as hastes forem ligadas em paralelo. Informações importantes que vamos usar: t_1=12\\ \text{s} (tempo em série), queremos t_2 (tempo em paralelo). As outras quantidades k,A,L,\Delta T são as mesmas nos dois arranjos.

Passo 2

Apresento a lei básica que usamos aqui (Lei de Fourier para condução estacionária unidimensional): a taxa de transferência de calor através de uma barra homogênea é
\frac{Q}{t}=\frac{k\,A\,\Delta T}{L},
onde Q é a quantidade de calor transferida no tempo t, k é a condutividade térmica do material, A é a área da seção transversal da barra, \Delta T é a diferença de temperatura entre as extremidades e L é o comprimento da barra. Vou explicar cada termo rapidinho: k mede a facilidade do material em conduzir calor (quanto maior, mais fácil), A quanto maior, mais “corredores” para o calor passar, \Delta T é a força motriz do fluxo de calor (maior diferença gera mais fluxo) e L é a distância que o calor tem que atravessar (quanto maior L, mais difícil).

Passo 3

Agora vamos aplicar essa fórmula ao caso das duas hastes em série. Quando duas hastes idênticas, cada uma de comprimento L, são colocadas em série (una uma na outra entre as temperaturas), o calor atravessa um comprimento total 2L com a mesma área A e mesma condutividade k. Substituindo na fórmula, a taxa de transferência no arranjo em série é
\frac{Q}{t_1}=\frac{k\,A\,\Delta T}{2L}.
Multiplicando ambos os lados por t_1 para escrever Q, obtemos
Q=\frac{k\,A\,\Delta T}{2L}\,t_1.

Passo 4

Agora o caso paralelo. Quando as duas hastes idênticas são colocadas em paralelo (lado a lado ligando as mesmas duas temperaturas), cada haste tem comprimento L, área A e condutividade k, e ambas conduzem calor simultaneamente. A condutância total é a soma das condutâncias das hastes; equivalentemente, é como se a área efetiva fosse 2A. Assim a taxa de transferência no arranjo paralelo é
\frac{Q}{t_2}=\frac{k\,(2A)\,\Delta T}{L}=\frac{2k\,A\,\Delta T}{L}.
Multiplicando por t_2,
Q=\frac{2k\,A\,\Delta T}{L}\,t_2.

Passo 5

Como o enunciado pede o tempo para transferir a mesma quantidade de calor Q nas duas situações, igualamos as expressões de Q obtidas nos passos anteriores:
\frac{k\,A\,\Delta T}{2L}\,t_1=\frac{2k\,A\,\Delta T}{L}\,t_2.
Podemos simplificar muito: k, A, \Delta T e L são todos positivos e aparecem em ambos os lados, então cancelamos-os. Para ver o cancelamento passo a passo, divida ambos os lados por \dfrac{k\,A\,\Delta T}{L}; o lado esquerdo fica \dfrac{t_1}{2} e o direito fica 2t_2. Assim obtemos a relação simples
\frac{t_1}{2}=2\,t_2.

Passo 6

Da relação do passo anterior resolvemos para t_2:
t_2=\frac{t_1}{4}.
Agora substituímos t_1=12\\ \text{s}:
t_2=\frac{12}{4}=3\\ \text{s}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: faz sentido físico — em paralelo há mais caminho para o calor (duas hastes ao mesmo tempo), então o mesmo calor passa em menos tempo; aqui exatamente quatro vezes mais rápido, indo de 12\\ \text{s} para 3\\ \text{s}. Você chegou até aqui, está indo bem — isso é o tipo de raciocínio que cai muito em prova: modelar por meio da lei de condução, comparar condutâncias e cancelar termos iguais.

Resposta

3\\ \text{s}

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