14 Duas placas circulares, de raio
, separadas por uma distância
, formam um capacitor ideal: Suponna que o dielétrico é um isolante perfeito com campo
uniforme (isto é, despreze o efeito do campo nas extremidades das placas). O capacitor está sendo carregado por uma corrente
constante.
(a) Encontre o campo
num ponto
sobre a superfície cilíndrica do dielétrico. (b) Encontre o módulo, a direção e o sentido do vetor de Poynting
em
. (c) Integre
sobre a superfície cilíndrica do dielétrico e demonstre que o resultado é igual à taxa de variação, com o tempo, da energia eletrostática armazenada.
(a) Encontre o campo
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor formado por duas placas circulares de raio
, separadas por uma distância
, preenchido por um dielétrico perfeito com campo de deslocamento
uniforme. O capacitor está sendo carregado por uma corrente constante
.
Conteúdo: usaremos a forma integral da Lei de Ampère–Maxwell para achar , e depois aplicaremos a definição do vetor de Poynting
para calcular fluxo de energia e comparar com a taxa de variação da energia armazenada.
Conteúdo: usaremos a forma integral da Lei de Ampère–Maxwell para achar
Passo 2
Aplicamos a Lei de Ampère–Maxwell em sua forma integral:
Escolhemos
como um círculo de raio
sobre a superfície lateral do dielétrico e
como a placa interna fechada por
. Não há corrente livre passando pelo dielétrico, mas o termo de deslocamento fornece
Passo 3
Como
e o lado direito vale
, obtemos
Passo 4
No interior do dielétrico o campo elétrico é uniforme e dado por
direcionado de uma placa para a outra (eixo
). Como
é ao longo de
, dizemos
com
.
Passo 5
O vetor de Poynting é
Logo o módulo é
a direção é radial
e o sentido depende do sinal de
(fluxo de energia entrando ou saindo lateralmente).
Passo 6
Integramos o fluxo de
sobre a superfície cilíndrica (área
):
A energia eletrostática armazenada no capacitor é
com
. Como
e
, segue
Portanto o fluxo de
pela lateral é igual à taxa de variação da energia armazenada.
Resposta
(a)
(b) com módulo
, direção radial e sentido determinado por
.
(c)
(b)
(c)