13^{\circ} ) Mediram o raio e a altura de cilindro circular reto, obtendo 3 m e 8 m, respectivamente com erro de medida possível de \pm 0,05 \mathrm{~m}. Utilize diferenciais para obter uma aproximação do erro no volume calculado do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o erro no volume de um cilindro circular reto usando diferenciais. Mediram-se o raio r=3\\ \mathrm m e a altura h=8\\ \mathrm m, cada um com erro máximo \pm0,05\\ \mathrm m. A fórmula do volume é
V=\pi r^2 h.
Vamos precisar de derivadas parciais para propagar o erro.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de V em relação a r e a h:
\frac{\partial V}{\partial r} =2\pi r\,h, \qquad \frac{\partial V}{\partial h} =\pi r^2.

Passo 3

A diferencial total dV dá a variação aproximada do volume quando r varia em dr e h em dh:
dV =\frac{\partial V}{\partial r}\,dr +\frac{\partial V}{\partial h}\,dh.

Passo 4

Avalie as derivadas em r=3 e h=8, e use dr=dh=\pm0,05:
\frac{\partial V}{\partial r}\Big|_{(3,8)} =2\pi\cdot3\cdot8=48\pi, \quad \frac{\partial V}{\partial h}\Big|_{(3,8)} =\pi\cdot3^2=9\pi.
Logo
dV =48\pi\,(dr)+9\pi\,(dh).

Passo 5

Para o erro máximo, tomamos dr e dh ambos com sinal que maximize |dV|. Assim
|dV| \approx\bigl(48\pi+9\pi\bigr)\,0{,}05 =57\pi\cdot0{,}05 =2{,}85\pi\\ \mathrm m^3 \approx8{,}95\\ \mathrm m^3.

Resposta

O erro aproximado no volume é
\Delta V\approx\pm2{,}85\pi\\ \mathrm m^3\approx\pm8{,}95\\ \mathrm m^3.

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