14^{\circ} ) Suponha que as dimensões de um paralelepípedo retângulo varie de 9 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm} e 4 cm para 9,02 \mathrm{~cm}, 5,97 \mathrm{~cm} e 4,01 \mathrm{~cm} respectivamente, utilizando diferenciais, determine:
a) Uma aproximação para variação do volume.
b) Qual a variação exata do volume?

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo retângulo cujas arestas valem a=9\\ \mathrm{cm}, b=6\\ \mathrm{cm} e c=4\\ \mathrm{cm}, que passam a valer a+ \Delta a=9,02\\ \mathrm{cm}, b+\Delta b=5,97\\ \mathrm{cm} e c+\Delta c=4,01\\ \mathrm{cm}. O volume é dado por
V = a\,b\,c
Para aproximar a variação de volume usamos o formalismo de diferenciais: \Delta V \approx \mathrm{d}V, onde \mathrm{d}V é obtido pelas derivadas parciais de V(a,b,c).

Passo 2

Calculamos a diferencial de V:
\mathrm{d}V = \frac{\partial V}{\partial a}\,\mathrm{d}a + \frac{\partial V}{\partial b}\,\mathrm{d}b + \frac{\partial V}{\partial c}\,\mathrm{d}c = b\,c\,\mathrm{d}a + a\,c\,\mathrm{d}b + a\,b\,\mathrm{d}c
Como \mathrm{d}a = 0,02\\ \mathrm{cm}, \mathrm{d}b = -0,03\\ \mathrm{cm} e \mathrm{d}c = 0,01\\ \mathrm{cm}, e a=9, b=6, c=4, temos
\mathrm{d}V = 6\cdot4\cdot0,02 + 9\cdot4\cdot(-0,03) + 9\cdot6\cdot0,01 = 0,48 - 1,08 + 0,54 = -0,06
Logo, \mathrm{d}V = -0,06\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 3

Da aproximação pela diferencial segue-se que a variação aproximada do volume é
\Delta V \approx -0,06\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Agora fazemos a variação exata calculando
V_{\text{novo}} = (9,02)\,(5,97)\,(4,01)
e comparando com
V_{\text{antigo}} = 9 \cdot 6 \cdot 4 = 216\\ \mathrm{cm}^3.
Numericamente,
V_{\text{novo}} \approx 215,936094\\ \mathrm{cm}^3,
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\Delta V = V_{\text{novo}} - V_{\text{antigo}} = 215,936094 - 216 = -0,063906\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

a) \Delta V \approx -0,06\\ \mathrm{cm}^3
b) \Delta V = -0,063906\\ \mathrm{cm}^3

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