2.13 Considere um sistema de tempo discreto S_{1} com resposta ao impulso
h[n]=\left(\frac{1}{5}\right)^{n} u[n]
(a) Encontre o inteiro A tal que h[n]-A h[n-1]=\delta[n].
(b) Usando o resultado do item (a), determine a resposta ao impulso g[n] de um sistema LIT S_{2} que é o sistenna inverso de S_{1}.

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso
h[n]=\left(\frac{1}{5}\right)^{n} u[n]
e pede duas coisas:
  1. Encontrar o inteiro A\) tal que \[h[n]-A\,h[n-1]=\delta[n].
  2. Usando o resultado do item (a), determinar a resposta ao impulso g[n] de um sistema LIT S_{2} que é o sistema inverso de S_{1}, ou seja, tal que a convolução h*g=\delta.
Informações relevantes dadas:
h[n]=\begin{cases}\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}, & n\ge 0,\\[4pt] 0, & n<0,\end{cases}
ou seja, h[n]=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}u[n]\]. Também sabemos que \(\delta[n] é o impulso unitário com \delta[0]=1 e \delta[n]=0 para n\neq0. A resolução começa agora.]

Passo 2

Vamos usar a equação
h[n]-A\,h[n-1]=\delta[n]
para encontrar A. Primeiro observações sobre h[n]:
h[0]=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{0}u[0]=1\cdot 1=1,
e para n\ge 1 (onde u[n]=1) temos
h[n]=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n},\qquad h[n-1]=\left(\tfrac{1}{5}\right)^{\,n-1}.
Agora analiso dois casos de n:
  • Para n=0:
h[0]-A\,h[-1]=\delta[0].
Mas h[-1]=0 porque u[-1]=0. Logo
1 - A\cdot 0 = 1,
que é satisfeita para qualquer A — essa equação não determina A.
  • Para n\ge 1 (onde \delta[n]=0):
    substituo h[n] e h[n-1]:
\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n} - A\left(\tfrac{1}{5}\right)^{\,n-1} = 0.
Coloco um fator comum \left(\tfrac{1}{5}\right)^{\,n-1}:
\left(\tfrac{1}{5}\right)^{\,n-1}\Big(\tfrac{1}{5}-A\Big)=0.
Para n\ge 1 temos \left(\tfrac{1}{5}\right)^{\,n-1}\neq0, portanto é necessário
\tfrac{1}{5}-A=0 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{5}.
Conclusão do item (a): A=\tfrac{1}{5}.

Passo 3

Agora vamos achar g[n] tal que h*g=\delta. Para LIT é prático usar a transformada Z: se H(z) é a Tz de h[n] e G(z) a de g[n], então
H(z)\,G(z)=1 \quad\Rightarrow\quad G(z)=\frac{1}{H(z)}.
Calculo H(z) pela soma geométrica (lembrando que h[n]=0 para n<0):
H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n} z^{-n} =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\left(\tfrac{1}{5}\right)z^{-1}\right)^{n}.
Essa é uma série geométrica com razão \left(\tfrac{1}{5}\right)z^{-1}, cuja soma é
H(z)=\frac{1}{1-\left(\tfrac{1}{5}\right)z^{-1}},
válida para |z|>\tfrac{1}{5} (não precisamos explorar muito a ROC aqui, só saber que a soma existe). Então
G(z)=\frac{1}{H(z)}=1-\tfrac{1}{5}z^{-1}.
Para voltar ao tempo, reconhecemos que 1 corresponde a \delta[n] e z^{-1} corresponde a um deslocamento de uma amostra, isto é \delta[n-1]. Assim
g[n]=\delta[n]-\tfrac{1}{5}\delta[n-1].

Passo 4

Verificação direta por convolução (útil para “aprender a fazer na prova”): como g[n] tem suporte somente em n=0 e n=1, a convolução é simples:
(h*g)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,g[n-k] = h[n]\,g[0]+h[n-1]\,g[1],
porque g[k] é zero para k\neq 0,1. Substituindo g[0]=1 e g[1]=-\tfrac{1}{5},
(h*g)[n]=h[n]-\tfrac{1}{5}h[n-1].
Pelo item (a) essa expressão é exatamente \delta[n]. Portanto g[n] é de fato a resposta ao impulso do sistema inverso.

Resposta

A=\dfrac{1}{5}
g[n]=\delta[n]-\dfrac{1}{5}\delta[n-1]

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