2.13 Considere um sistema de tempo discreto
com resposta ao impulso
(a) Encontre o inteiro
tal que
.
(b) Usando o resultado do item (a), determine a resposta ao impulso
de um sistema LIT
que é o sistenna inverso de
.
(b) Usando o resultado do item (a), determine a resposta ao impulso
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso
e pede duas coisas:
- Encontrar o inteiro
- Usando o resultado do item (a), determinar a resposta ao impulso
de um sistema LIT que é o sistema inverso de , ou seja, tal que a convolução .
Informações relevantes dadas:
ou seja,
é o impulso unitário com
e
para
. A resolução começa agora.]
Passo 2
Vamos usar a equação
para encontrar
. Primeiro observações sobre
:
e para
(onde
) temos
Agora analiso dois casos de
:
- Para
:
Mas
porque
. Logo
que é satisfeita para qualquer
— essa equação não determina
.
- Para
(onde ):
substituoe :
Coloco um fator comum
:
Para
temos
, portanto é necessário
Conclusão do item (a):
.
Passo 3
Agora vamos achar
tal que
. Para LIT é prático usar a transformada Z: se
é a Tz de
e
a de
, então
Calculo
pela soma geométrica (lembrando que
para
):
Essa é uma série geométrica com razão
, cuja soma é
válida para
(não precisamos explorar muito a ROC aqui, só saber que a soma existe). Então
Para voltar ao tempo, reconhecemos que
corresponde a
e
corresponde a um deslocamento de uma amostra, isto é
. Assim
Passo 4
Verificação direta por convolução (útil para “aprender a fazer na prova”): como
tem suporte somente em
e
, a convolução é simples:
porque
é zero para
. Substituindo
e
,
Pelo item (a) essa expressão é exatamente
. Portanto
é de fato a resposta ao impulso do sistema inverso.