1.18 Considere um sistema de tempo discreto com entrada x[n] e saída y[n] relacionadas por
y[n]=\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x[k],
sendo n_{0} um número inteiro positivo finito.
(a) O sistema é linear?
(b) O sistema é invariante no tempo?
(c) Sabendo que x[n] é limitado por um número inteiro finito B (isto é, |x[n]|<B para todo n ), podemos demonstrar que y[n] é limitado por um número finito C. Concluímos que o sistema dado é estável. Expresse C em termos de B e n_{0}.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de tempo discreto com entrada x[n] e saída y[n] relacionadas por
y[n]=\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x[k],
onde n_{0} é um inteiro positivo finito. As perguntas que precisamos responder são:
(a) o sistema é linear?
(b) o sistema é invariante no tempo?
(c) sabendo que |x[n]|<B para todo n, mostrar que existe C finito tal que |y[n]|<C para todo n (ou seja, provar estabilidade) e expressar C em termos de B e n_{0}.
As informações relevantes: a fórmula que dá y[n]; n_{0} é inteiro positivo finito; e x[n] é uniformemente limitada por B.

Passo 2

Definimos o operador do sistema T por (Tx)[n]=y[n]. Para decidir linearidade usamos a definição prática de linearidade: o sistema é linear se, para quaisquer sinais x_1[n], x_2[n] e quaisquer escalares a,b, vale
T\big(a x_1 + b x_2\big)[n] = a\,T(x_1)[n] + b\,T(x_2)[n].
Aqui a e b são números reais (ou complexos, conforme o contexto) e a soma a x_1 + b x_2 é o sinal definido ponto a ponto por (a x_1 + b x_2)[n]=a x_1[n] + b x_2[n].

Passo 3

Calculamos o lado esquerdo da condição de linearidade aplicando a definição do sistema ao sinal a x_1 + b x_2:
T\big(a x_1 + b x_2\big)[n] = \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} \big(a x_1[k] + b x_2[k]\big).
Usamos a propriedade distributiva da soma (puxar constantes para fora da soma) para reescrever:
\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} \big(a x_1[k] + b x_2[k]\big) = a\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x_1[k] + b\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x_2[k].
Mas pelas definições, \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x_1[k]=T(x_1)[n] e análogamente para x_2. Portanto
T\big(a x_1 + b x_2\big)[n] = a\,T(x_1)[n] + b\,T(x_2)[n].

Passo 4

Da igualdade do passo anterior concluímos que o sistema satisfaz a propriedade de superposição (homogeneidade e aditividade) para quaisquer x_1,x_2 e quaisquer escalares a,b. Logo, o sistema é linear. (Respire fundo — linearidade verificada por cálculo direto.)

Passo 5

Agora tratamos da invariância no tempo. A definição prática de invariança no tempo: para todo inteiro de deslocamento n_1 e para todo sinal x[n], se definirmos o sinal deslocado x_{d}[n]=x[n-n_1], então o sistema é invariante no tempo se
T(x_{d})[n] = (T x)[n-n_1].
Em palavras: deslocar a entrada em n_1 desloca a saída em n_1 da mesma forma.

Passo 6

Vamos calcular T(x_{d})[n] para x_{d}[n]=x[n-n_1]. Usando a definição do sistema:
T(x_{d})[n] = \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x_{d}[k] = \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x[k-n_1].
Fazemos a mudança de índice j=k-n_1. Quando k varia de n-n_{0} até n+n_{0}, o novo índice j varia de n-n_1-n_{0} até n-n_1+n_{0}. Assim
\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x[k-n_1] = \sum_{j=n-n_1-n_{0}}^{\,n-n_1+n_{0}} x[j].
Mas a soma à direita é exatamente (T x)[n-n_1], porque (T x)[m] = \sum_{k=m-n_{0}}^{m+n_{0}} x[k] e aqui tomamos m=n-n_1. Portanto
T(x_{d})[n] = (T x)[n-n_1].

Passo 7

Da igualdade do passo anterior concluímos que o sistema é invariante no tempo: um deslocamento da entrada resulta no mesmo deslocamento da saída. Ou seja, o sistema é time-invariant.

Passo 8

Agora provamos a estabilidade do tipo BIBO (bounded-input, bounded-output). A definição que vamos usar: um sistema é BIBO estável se existir uma constante finita C tal que, sempre que a entrada satisfaz |x[n]|<B para todo n (com B finito), então a saída satisfaz |y[n]|<C para todo n.

Passo 9

Partimos da expressão do sistema e aplicamos desigualdade triangular:
|y[n]| = \left|\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} x[k]\right| \le \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} |x[k]|.
Aqui usamos que o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos (desigualdade triangular). Como, por hipótese, |x[k]|<B para todo k, temos
\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} |x[k]| < \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} B.

Passo 10

O número de termos na soma \sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} é 2n_0+1 (contamos todos os inteiros desde n-n_0 até n+n_0, inclusive). Portanto
\sum_{k=n-n_{0}}^{n+n_{0}} B = (2n_0+1)\,B.
Combining the inequalities,
|y[n]| < (2n_0+1)\,B
para todo n. Assim podemos tomar
C=(2n_0+1)\,B,
que é finito porque n_0 e B são finitos. Logo o sistema é BIBO estável.

Passo 11

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se n_0=1 e B=2, então y[n] soma 2\cdot1+1=3 termos cada uma limitada por 2, logo |y[n]|<3\cdot2=6. Isso ilustra a fórmula geral.

Resposta

(a) Sim.
(b) Sim.
(c) O sistema é BIBO estável com C=(2n_{0}+1)\,B.

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