3{ }^{\underline{\text { a }}} Questão (40 pontos):
Encontre a solução do problema de valor inicial (com Transformada de Laplace):
y^{\prime \prime}+y=-\operatorname{sen} 2 t, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial
y''+y=-\operatorname{sen} 2t,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é y''+y=-\operatorname{sen} 2t.
  • As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=1.
  • A técnica exigida é a Transformada de Laplace (aplicaremos a transformada para obter Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e depois inverter).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar (tudo aqui é importante e vou explicar cada símbolo):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt. Aqui s é a variável no domínio da transformada (número real ou complexo) e t é a variável temporal.
  • Propriedade da linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformadas de derivadas (muito úteis para EDO com condições iniciais): se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) então \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nestas fórmulas y(0) e y'(0) são as condições iniciais fornecidas.
  • Transformadas comuns que usaremos: \mathcal{L}\{\cos a t\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sen} a t\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.Em particular, \mathcal{L}\{\operatorname{sen} 2t\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}.

Passo 3

Aplicamos \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados da equação y''+y=-\operatorname{sen} 2t.
Usando as fórmulas do passo anterior:
\mathcal{L}\{y''\}+\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{-\operatorname{sen} 2t\}.
Substituindo:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+Y(s)=-\frac{2}{s^{2}+4}.
Agora colocamos as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1:
\bigl(s^{2}Y(s)-2s-1\bigr)+Y(s)=-\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Agrupamos os termos que têm Y(s) e isolamos Y(s):
(s^{2}+1)Y(s)-2s-1=-\frac{2}{s^{2}+4}.
Logo
(s^{2}+1)Y(s)=2s+1-\frac{2}{s^{2}+4}.
Dividindo por s^{2}+1,
Y(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+1}-\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.

Passo 5

Agora vamos decompor a fração racional \dfrac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)} para inverter a transformada facilmente.
Procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{As+B}{s^{2}+1}+\frac{Cs+D}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+4) obtemos
2=(As+B)(s^{2}+4)+(Cs+D)(s^{2}+1).
Expandindo:
2=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(4A+C)s+(4B+D).
Igualando coeficientes para potências de s (o membro da esquerda tem só constante 2):
  • coeficiente de s^{3}: A+C=0.
  • coeficiente de s^{2}: B+D=0.
  • coeficiente de s: 4A+C=0.
  • termo constante: 4B+D=2.
Das duas primeiras equações A+C=0 e 4A+C=0 subtraindo dá 3A=0\Rightarrow A=0. Assim C=0.
Das duas últimas B+D=0 e 4B+D=2 subtraindo dá 3B=2\Rightarrow B=\tfrac{2}{3}. Então D=-B=-\tfrac{2}{3}.
Portanto a decomposição é
\frac{2}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+1}-\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}.

Passo 6

Voltando a Y(s):
Y(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+1}-\left(\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+1}-\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}\right).
Reagrupando os termos sobre s^{2}+1:
Y(s)=\frac{2s+1-\tfrac{2}{3}}{s^{2}+1}+\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}.
Calculando 1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}, temos
Y(s)=\frac{2s+\tfrac{1}{3}}{s^{2}+1}+\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}.
Para fazer a inversa de forma direta, separamos:
Y(s)=\frac{2s}{s^{2}+1}+\frac{\tfrac{1}{3}}{s^{2}+1}+\frac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}.

Passo 7

Invertendo termo a termo usando as transformadas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s}{s^{2}+1}\right\}=2\cos t porque \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\tfrac{1}{3}}{s^{2}+1}\right\}=\tfrac{1}{3}\operatorname{sen} t porque \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}\right\}=\tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t=\tfrac{1}{3}\operatorname{sen} 2t porque \mathcal{L}\{\operatorname{sen} 2t\}=\dfrac{2}{s^{2}+4} e, portanto, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\}=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen} 2t.
Somando as inversas:
y(t)=2\cos t+\frac{1}{3}\operatorname{sen} t+\frac{1}{3}\operatorname{sen} 2t.

Passo 8

Verificação rápida das condições iniciais (para ficar tranquilo):
  • y(0)=2\cos 0+\tfrac{1}{3}\operatorname{sen} 0+\tfrac{1}{3}\operatorname{sen} 0=2\cdot1+0+0=2 (ok).
  • y'(t)=-2\operatorname{sen} t+\tfrac{1}{3}\cos t+\tfrac{2}{3}\cos 2t. Então y'(0)=0+\tfrac{1}{3}\cdot1+\tfrac{2}{3}\cdot1=1 (ok).
    As condições iniciais batem, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=2\cos t+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} t+\dfrac{1}{3}\operatorname{sen} 2t

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