A equação diferencial é y''+y=-\operatorname{sen} 2t.
As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=1.
A técnica exigida é a Transformada de Laplace (aplicaremos a transformada para obter Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e depois inverter).
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar (tudo aqui é importante e vou explicar cada símbolo):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt. Aqui s é a variável no domínio da transformada (número real ou complexo) e t é a variável temporal.
Propriedade da linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
Transformadas de derivadas (muito úteis para EDO com condições iniciais): se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) então\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Nestas fórmulas y(0) e y'(0) são as condições iniciais fornecidas.
Transformadas comuns que usaremos:\mathcal{L}\{\cos a t\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sen} a t\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.Em particular, \mathcal{L}\{\operatorname{sen} 2t\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}.
Passo 3
Aplicamos \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados da equação y''+y=-\operatorname{sen} 2t.
Usando as fórmulas do passo anterior:
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+4) obtemos
2=(As+B)(s^{2}+4)+(Cs+D)(s^{2}+1).
Expandindo:
2=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(4A+C)s+(4B+D).
Igualando coeficientes para potências de s (o membro da esquerda tem só constante 2):
coeficiente de s^{3}: A+C=0.
coeficiente de s^{2}: B+D=0.
coeficiente de s: 4A+C=0.
termo constante: 4B+D=2.
Das duas primeiras equações A+C=0 e 4A+C=0 subtraindo dá 3A=0\Rightarrow A=0. Assim C=0.
Das duas últimas B+D=0 e 4B+D=2 subtraindo dá 3B=2\Rightarrow B=\tfrac{2}{3}. Então D=-B=-\tfrac{2}{3}.
Invertendo termo a termo usando as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s}{s^{2}+1}\right\}=2\cos t porque \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\tfrac{1}{3}}{s^{2}+1}\right\}=\tfrac{1}{3}\operatorname{sen} t porque \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\tfrac{2}{3}}{s^{2}+4}\right\}=\tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t=\tfrac{1}{3}\operatorname{sen} 2t porque \mathcal{L}\{\operatorname{sen} 2t\}=\dfrac{2}{s^{2}+4} e, portanto, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\}=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen} 2t.
y'(t)=-2\operatorname{sen} t+\tfrac{1}{3}\cos t+\tfrac{2}{3}\cos 2t. Então y'(0)=0+\tfrac{1}{3}\cdot1+\tfrac{2}{3}\cdot1=1 (ok).
As condições iniciais batem, então a solução está correta.