1-13 Demonstre que o vetor unitário normal à superfície \varphi(\mathrm{r})= constante é
\mathrm{n}=\nabla \varphi /|\nabla \varphi| .
Encontre n para o elipsóide
\varphi=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Demonstrar que o vetor unitário normal à superfície dada por \varphi(\mathbf{r})= constante é
\mathbf{n}=\frac{\nabla \varphi}{|\nabla \varphi|}.
  • Aplicar essa fórmula ao elipsóide
\varphi = a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}
e encontrar explicitamente \mathbf{n}.
Informações fornecidas:
  • A superfície é o conjunto de pontos \mathbf{r}=(x,y,z) tais que \varphi(\mathbf{r}) tem valor constante.
  • No caso específico, \varphi é a função quadrática \varphi(x,y,z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}, com constantes a,b,c.

Passo 2

Definição e interpretação do gradiente (com calma, passo a passo).
  • O gradiente de uma função escalar \varphi(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y},\;\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
Cada componente é a taxa de variação de \varphi na direção dos eixos coordenados.
  • A derivada direcional de \varphi na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede como \varphi muda quando se desloca um pouquinho na direção \mathbf{u}. A fórmula é
D_{\mathbf{u}}\varphi = \nabla\varphi\cdot\mathbf{u},
onde `` \cdot’’ é o produto interno (produto escalar). Isso significa: a projeção do gradiente na direção \mathbf{u} dá a variação nessa direção.

Passo 3

Relação entre nível (superfície \varphi= constante) e o gradiente.
  • Se \mathbf{r}(t) é uma curva contida na superfície \varphi(\mathbf{r})= constante, então \varphi(\mathbf{r}(t)) é constante em t. Assim a derivada em t é zero:
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t)) = 0.
  • Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t)) = \nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
Logo para todo vetor tangente \mathbf{r}'(t) à superfície vale
\nabla\varphi\cdot\mathbf{r}'(t)=0.
  • Conclusão: \nabla\varphi é orthogonal a todo vetor tangente à superfície; isto é, \nabla\varphi é um vetor normal à superfície nos pontos em questão.

Passo 4

Normalização para obter o vetor unitário normal.
  • Sabendo que \nabla\varphi é normal à superfície, um vetor normal unitário é apenas o gradiente dividido pela sua norma (magnitude). A norma de um vetor \mathbf{v} é denotada |\mathbf{v}| e dada por |\mathbf{v}|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}.
  • Portanto o vetor unitário normal é
\mathbf{n}=\pm\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|},
onde o sinal + ou - escolhe a orientação (para fora ou para dentro). A expressão pedida na questão é
\mathbf{n}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|},
que é a versão com orientação determinada pelo sentido do gradiente (direção de aumento de \varphi).

Passo 5

Aplicação ao elipsóide \varphi=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}.
  • Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2a x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2b y,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2c z.
  • Assim o gradiente é
\nabla\varphi = (2a x,\;2b y,\;2c z).
  • A norma de \nabla\varphi é
|\nabla\varphi|=\sqrt{(2a x)^{2}+(2b y)^{2}+(2c z)^{2}} =2\sqrt{(a x)^{2}+(b y)^{2}+(c z)^{2}}.
  • Dividindo e simplificando o fator 2, obtemos o vetor unitário normal
\mathbf{n}=\frac{(2a x,\;2b y,\;2c z)}{2\sqrt{(a x)^{2}+(b y)^{2}+(c z)^{2}}} = \frac{(a x,\;b y,\;c z)}{\sqrt{(a x)^{2}+(b y)^{2}+(c z)^{2}}}.
  • Observação prática e de verificação: para a=b=c=1 (esfera) essa fórmula dá \mathbf{n}=(x,y,z)/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, que é o vetor radial unitário — bate com a intuição.

Resposta

\displaystyle \mathbf{n}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|}.
\displaystyle \mathbf{n}=\frac{(a x,\;b y,\;c z)}{\sqrt{(a x)^{2}+(b y)^{2}+(c z)^{2}}}.

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