1-13 Demonstre que o vetor unitário normal à superfície
constante é
Encontre n para o elipsóide
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Demonstrar que o vetor unitário normal à superfície dada por
constante é
- Aplicar essa fórmula ao elipsóide
e encontrar explicitamente
.
Informações fornecidas:
- A superfície é o conjunto de pontos
tais que tem valor constante. - No caso específico,
é a função quadrática , com constantes .
Passo 2
Definição e interpretação do gradiente (com calma, passo a passo).
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Cada componente é a taxa de variação de
na direção dos eixos coordenados.
- A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário mede como muda quando se desloca um pouquinho na direção . A fórmula é
onde ``
’’ é o produto interno (produto escalar). Isso significa: a projeção do gradiente na direção
dá a variação nessa direção.
Passo 3
Relação entre nível (superfície
constante) e o gradiente.
- Se
é uma curva contida na superfície constante, então é constante em . Assim a derivada em é zero:
- Pela regra da cadeia,
Logo para todo vetor tangente
à superfície vale
- Conclusão:
é orthogonal a todo vetor tangente à superfície; isto é, é um vetor normal à superfície nos pontos em questão.
Passo 4
Normalização para obter o vetor unitário normal.
- Sabendo que
é normal à superfície, um vetor normal unitário é apenas o gradiente dividido pela sua norma (magnitude). A norma de um vetor é denotada e dada por . - Portanto o vetor unitário normal é
onde o sinal
ou
escolhe a orientação (para fora ou para dentro). A expressão pedida na questão é
que é a versão com orientação determinada pelo sentido do gradiente (direção de aumento de
).
Passo 5
Aplicação ao elipsóide
.
- Calcular as derivadas parciais:
- Assim o gradiente é
- A norma de
é
- Dividindo e simplificando o fator
, obtemos o vetor unitário normal
- Observação prática e de verificação: para
(esfera) essa fórmula dá , que é o vetor radial unitário — bate com a intuição.