Cobre e magnésio cristalinos têm estruturas CFC e HCP, respectivamente. Admitindo que os átomos possam ser representados por esferas rígidas, obtenha:
a) A porcentagem do volume da cela unitária ocupada por átomos de cada material;
b) As dimensões (parâmetros de rede) da cela unitária para o cobre e o magnésio.
Considere as densidades do cobre e do magnésio
e
, e as massas atômicas, 63,54 e 24,32, respectivamente.
a) A porcentagem do volume da cela unitária ocupada por átomos de cada material;
b) As dimensões (parâmetros de rede) da cela unitária para o cobre e o magnésio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A porcentagem do volume da cela unitária ocupada por átomos, assumindo átomos como esferas rígidas, para cobre (estrutura CFC) e magnésio (estrutura HCP).
- (b) As dimensões (parâmetros de rede) da cela unitária para o cobre e para o magnésio.
Informações fornecidas e que vou usar (peguei os números do enunciado):
- Densidades:
e . - Massas atômicas:
e . - Constante de Avogadro:
.
Observações de unidades que faço já:
. Portanto, em unidades SI:
As massas atômicas em kg/mol:
Passo 2
Primeiro: fração de empacotamento (porcentagem do volume ocupado pelas esferas) para CFC e HCP, mostrando a ideia e a fórmula.
Explicação dos conceitos passo a passo:
- Em modelos de esferas rígidas, a fração de empacotamento é
- Para CFC (FCC): número de átomos por cela convencional é
. A relação geométrica entre parâmetro de rede e raio atômico é a das diagonais da face: a diagonal da face vale e também vale . Assim
- Volume da cela:
. Volume total das esferas: . - Substituindo
em termos de , para a fração de empacotamento ( ):
Faço as contas simbólicas:
portanto
Essa é uma expressão padrão; numericamente
Passo 3
Agora HCP: mostrar por que dá a mesma fração (passo a passo).
- A cela convencional hexagonal HCP (a usada usualmente) contém
átomos. - A geometria ideal HCP tem razão
(essa é a razão ideal para empacotamento compacto). - Volume da cela hexagonal: base é um hexágono regular de lado
com área e altura . Assim
- Para HCP ideal
. Substituindo:
Faço a simplificação dos fatores:
Logo para HCP ideal
- Na HCP os átomos tocam no plano basal com distância de centro a centro igual a
; portanto . - Volume total das esferas na cela:
- Agora a fração de empacotamento:
logo
Portanto a HCP ideal tem a mesma fração da CFC:
Comentário encorajador: então bom — não precisa decorar dois números diferentes: CFC e HCP (ideais) ocupam o mesmo espaço: cerca de 74,05%.
Passo 4
Agora vamos calcular os parâmetros de rede usando as densidades e massas atômicas. A ideia geral:
- Densidade macroscópica relaciona-se à massa na cela e ao volume da cela:
- Massa da cela é
, onde é massa molar (kg/mol) e é número de átomos na cela. - Para cada estrutura substituo
pela expressão geométrica conhecida e isolo o parâmetro de rede.
Fórmula geral para obter
(quando a cela tem volume
proporcional a
):
onde
é a constante geométrica tal que
. Para CFC
(porque
). Para HCP ideal
.
Vou calcular numericamente com as constantes e conversões já definidas.
Passo 5
Cálculo para o cobre (CFC).
Dados usados:
Fórmula (como a cela cúbica tem
,
):
Substituindo numericamente:
Faço a conta (apenas os passos essenciais):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Dividindo:
Agora a raiz cúbica:
Raio atômico (útil, e mostra coerência): para CFC
, então
Passo 6
Cálculo para o magnésio (HCP ideal).
Dados:
Geometria HCP ideal:
(portanto
) e razão
.
A relação entre densidade e é:
A relação entre densidade e
Substituindo numericamente:
Faço os passos numéricos:
- Numerador:
. - Denominador aproximado:
. - Dividindo:
Raiz cúbica:
Agora obtenho
pela razão ideal:
Raio atômico (na HCP
):
Passo 7
Resumo numérico e checagens rápidas (para me deixar e você tranquilos):
- Fração de empacotamento: tanto CFC quanto HCP (ideais) têm
- Para o cobre (CFC) obtive
e . - Para o magnésio (HCP ideal) obtive
, e .
Pequena motivação final: esses valores numéricos batem com os valores tabulados (ordem de magnitude e casas decimais coerentes), então está tudo consistente — isso significa que a ideia de usar densidade + número de átomos por cela é uma ferramenta poderosa para encontrar parâmetros de rede quando você só tem massa atômica e densidade.
Resposta
74{,}048% (tanto para CFC quanto para HCP)
Cobre (CFC):
Magnésio (HCP, razão ideal
):