Cobre e magnésio cristalinos têm estruturas CFC e HCP, respectivamente. Admitindo que os átomos possam ser representados por esferas rígidas, obtenha:
a) A porcentagem do volume da cela unitária ocupada por átomos de cada material;
b) As dimensões (parâmetros de rede) da cela unitária para o cobre e o magnésio.
Considere as densidades do cobre e do magnésio 8,96 \mathrm{Mg} \mathrm{m}^{-3} e 1,74 \mathrm{Mg} \mathrm{m}^{-3}, e as massas atômicas, 63,54 e 24,32, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) A porcentagem do volume da cela unitária ocupada por átomos, assumindo átomos como esferas rígidas, para cobre (estrutura CFC) e magnésio (estrutura HCP).
  • (b) As dimensões (parâmetros de rede) da cela unitária para o cobre e para o magnésio.
Informações fornecidas e que vou usar (peguei os números do enunciado):
  • Densidades: \rho_{\rm Cu}=8{,}96\\ \mathrm{Mg\;m^{-3}} e \rho_{\rm Mg}=1{,}74\\ \mathrm{Mg\;m^{-3}}.
  • Massas atômicas: M_{\rm Cu}=63{,}54\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} e M_{\rm Mg}=24{,}32\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Constante de Avogadro: N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Observações de unidades que faço já: 1\\ \mathrm{Mg}=10^{3}\\ \mathrm{kg}. Portanto, em unidades SI:
\rho_{\rm Cu}=8{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{kg\;m^{-3}},\qquad \rho_{\rm Mg}=1{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
As massas atômicas em kg/mol:
M_{\rm Cu}=63{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}},\qquad M_{\rm Mg}=24{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.

Passo 2

Primeiro: fração de empacotamento (porcentagem do volume ocupado pelas esferas) para CFC e HCP, mostrando a ideia e a fórmula.
Explicação dos conceitos passo a passo:
  • Em modelos de esferas rígidas, a fração de empacotamento é \eta = \dfrac{\text{volume total das esferas na cela}}{\text{volume da cela unitária}}.á
  • Para CFC (FCC): número de átomos por cela convencional é Z_{\rm FCC}=4. A relação geométrica entre parâmetro de rede a e raio atômico r é a das diagonais da face: a diagonal da face vale 4r e também vale a\sqrt{2}. Assim
a = 2\sqrt{2}\,r.
  • Volume da cela: V_{\rm cell}=a^3. Volume total das esferas: Z\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3.
  • Substituindo a em termos de r, para a fração de empacotamento ( \eta_{\rm FCC}):
\eta_{\rm FCC} = \dfrac{Z\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{a^3} = \dfrac{4\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{(2\sqrt{2}\,r)^3}.
Faço as contas simbólicas:
(2\sqrt{2})^3 = 8(\sqrt{2})^3 = 8\cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2},
portanto
\eta_{\rm FCC} = \dfrac{\dfrac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}\,r^3} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Essa é uma expressão padrão; numericamente
\eta_{\rm FCC}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 74{,}048\%.

Passo 3

Agora HCP: mostrar por que dá a mesma fração (passo a passo).
  • A cela convencional hexagonal HCP (a usada usualmente) contém Z_{\rm HCP}=6 átomos.
  • A geometria ideal HCP tem razão c/a=\sqrt{\dfrac{8}{3}} (essa é a razão ideal para empacotamento compacto).
  • Volume da cela hexagonal: base é um hexágono regular de lado a com área A_{\rm base}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 e altura c. Assim
V_{\rm cell}=A_{\rm base}\,c=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 c.
  • Para HCP ideal c=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\,a. Substituindo:
V_{\rm cell}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot\sqrt{\dfrac{8}{3}}\,a = \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{8}{3}}\right) a^3.
Faço a simplificação dos fatores:
\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{8} = \dfrac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2} =3\sqrt{2}.
Logo para HCP ideal
V_{\rm cell}=3\sqrt{2}\,a^3.
  • Na HCP os átomos tocam no plano basal com distância de centro a centro igual a a; portanto a=2r.
  • Volume total das esferas na cela: Z\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 6\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 8\pi r^3.
  • Agora a fração de empacotamento:
\eta_{\rm HCP}=\dfrac{8\pi r^3}{3\sqrt{2}\,a^3} \quad\text{e como }a=2r\text{ temos }a^3=8r^3,
logo
\eta_{\rm HCP}=\dfrac{8\pi r^3}{3\sqrt{2}\cdot 8 r^3}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}.
Portanto a HCP ideal tem a mesma fração da CFC:
\eta_{\rm HCP}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 74{,}048\%.
Comentário encorajador: então bom — não precisa decorar dois números diferentes: CFC e HCP (ideais) ocupam o mesmo espaço: cerca de 74,05%.

Passo 4

Agora vamos calcular os parâmetros de rede usando as densidades e massas atômicas. A ideia geral:
  • Densidade macroscópica relaciona-se à massa na cela e ao volume da cela:
\rho=\dfrac{\text{massa da cela}}{\text{volume da cela}}.
  • Massa da cela é m_{\rm cell} = Z\cdot \dfrac{M}{N_A}, onde M é massa molar (kg/mol) e Z é número de átomos na cela.
  • Para cada estrutura substituo V_{\rm cell} pela expressão geométrica conhecida e isolo o parâmetro de rede.
Fórmula geral para obter a (quando a cela tem volume V_{\rm cell} proporcional a a^3):
a = \left(\dfrac{Z M}{N_A \rho \cdot k}\right)^{1/3},
onde k é a constante geométrica tal que V_{\rm cell}=k\,a^3. Para CFC k=1 (porque V=a^3). Para HCP ideal k=3\sqrt{2}.
Vou calcular numericamente com as constantes e conversões já definidas.

Passo 5

Cálculo para o cobre (CFC).
Dados usados:
Z_{\rm Cu}=4,\qquad M_{\rm Cu}=63{,}54\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}},\qquad \rho_{\rm Cu}=8{,}96\times10^{3}\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
Fórmula (como a cela cúbica tem V_{\rm cell}=a^3, k=1):
a^3=\dfrac{Z M}{N_A \rho}.
Substituindo numericamente:
a^3=\dfrac{4\cdot(63{,}54\times10^{-3})}{(6{,}02214076\times10^{23})\cdot(8{,}96\times10^{3})}.
Faço a conta (apenas os passos essenciais):
  • Numerador: 4\cdot63{,}54\times10^{-3}=0{,}25416\\ \mathrm{kg}.
  • Denominador: 6{,}02214076\times10^{23}\cdot8{,}96\times10^{3}\approx 5{,}395838\times10^{27}.
  • Dividindo: a^3\approx 4{,}711\times10^{-29}\\ \mathrm{m^3}.
    Agora a raiz cúbica:
a\approx (4{,}711\times10^{-29})^{1/3}\approx 3{,}615\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=3{,}615\\ \text{\AA}.
Raio atômico (útil, e mostra coerência): para CFC a=2\sqrt{2}\,r, então
r_{\rm Cu}=\dfrac{a}{2\sqrt{2}}\approx \dfrac{3{,}615\times10^{-10}}{2\sqrt{2}}\approx 1{,}278\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=128{,}0\\ \text{pm}.

Passo 6

Cálculo para o magnésio (HCP ideal).
Dados:
Z_{\rm Mg}=6,\qquad M_{\rm Mg}=24{,}32\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}},\qquad \rho_{\rm Mg}=1{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
Geometria HCP ideal: V_{\rm cell}=3\sqrt{2}\,a^3 (portanto k=3\sqrt{2}) e razão c/a=\sqrt{\dfrac{8}{3}}.
A relação entre densidade e a é:
3\sqrt{2}\,a^3 = \dfrac{Z M}{N_A \rho} \quad\Rightarrow\quad a^3 = \dfrac{Z M}{N_A \rho \cdot 3\sqrt{2}}.
Substituindo numericamente:
a^3=\dfrac{6\cdot(24{,}32\times10^{-3})}{(6{,}02214076\times10^{23})\cdot(1{,}74\times10^{3})\cdot 3\sqrt{2}}.
Faço os passos numéricos:
  • Numerador: 6\cdot24{,}32\times10^{-3}=0{,}14592\\ \mathrm{kg}.
  • Denominador aproximado: 6{,}02214076\times10^{23}\cdot1{,}74\times10^{3}\cdot 3\sqrt{2}\approx 4{,}44665\times10^{27}.
  • Dividindo: a^3\approx 3{,}282\times10^{-29}\\ \mathrm{m^3}.
    Raiz cúbica:
a\approx (3{,}282\times10^{-29})^{1/3}\approx 3{,}204\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=3{,}204\\ \text{\AA}.
Agora obtenho c pela razão ideal:
c=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\,a\approx 1{,}633\;a\approx 1{,}633\times 3{,}204\times10^{-10}\\ \mathrm{m}\approx 5{,}232\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=5{,}232\\ \text{\AA}.
Raio atômico (na HCP a=2r):
r_{\rm Mg}=\dfrac{a}{2}\approx \dfrac{3{,}204\times10^{-10}}{2}=1{,}602\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=160{,}2\\ \text{pm}.

Passo 7

Resumo numérico e checagens rápidas (para me deixar e você tranquilos):
  • Fração de empacotamento: tanto CFC quanto HCP (ideais) têm
\eta=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 74{,}05\%.
  • Para o cobre (CFC) obtive a\approx 3{,}615\times10^{-10}\\ \mathrm{m} e r_{\rm Cu}\approx 1{,}278\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Para o magnésio (HCP ideal) obtive a\approx 3{,}204\times10^{-10}\\ \mathrm{m}, c\approx 5{,}232\times10^{-10}\\ \mathrm{m} e r_{\rm Mg}\approx 1{,}602\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Pequena motivação final: esses valores numéricos batem com os valores tabulados (ordem de magnitude e casas decimais coerentes), então está tudo consistente — isso significa que a ideia de usar densidade + número de átomos por cela é uma ferramenta poderosa para encontrar parâmetros de rede quando você só tem massa atômica e densidade.

Resposta

74{,}048% (tanto para CFC quanto para HCP)
Cobre (CFC): a\approx 3{,}615\times10^{-10}\\ \mathrm{m}
Magnésio (HCP, razão ideal c/a=\sqrt{8/3}): a\approx 3{,}204\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\quad c\approx 5{,}232\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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