1-19 Se r for o vetor que vai desde a origem ao ponto
, demonstre as fórmulas
(Nota:
é qualquer vetor.)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar três fórmulas envolvendo o vetor
que vai da origem ao ponto
. As perguntas são:
- Mostrar que
. - Mostrar que
. - Mostrar que
(onde é um vetor qualquer).
Informações dadas e notação que vamos usar (peguei estas do enunciado):
- O vetor posição é
vetor que vai da origem ao ponto . - Denotar as componentes de
por
- Escrever o operador nabla como
- Seja
um vetor qualquer; escrever suas componentes como
onde os
podem depender ou não de
— a demonstração será válida de qualquer forma.
Passo 2
Explicando a definição de divergência e calculando
.
Definição (uma mini-aula): a divergência de um campo vetorial
é o escalar dado por
Aqui cada termo significa a taxa de variação da componente correspondente na direção do mesmo eixo.
Aplicando isso ao nosso
, as componentes são
,
,
. Então calculamos as derivadas parciais (explicando:
, porque a função
muda uma unidade quando
aumenta uma unidade; similarly for
):
Somando:
Passo 3
Explicando a definição de rotacional (curl) e calculando
.
Definição (mini-aula): o rotacional de
é o vetor
Isso mede a tendência de rotação local do campo.
Para
temos
,
,
. Vamos calcular cada componente do rotacional, lembrando que derivadas cruzadas de coordenadas se anulam (por exemplo
porque
não depende de
):
Primeira componente (multiplicando por
):
Segunda componente (multiplicando por
):
Terceira componente (multiplicando por
):
Somando as componentes:
Comentário conceitual curto (útil na prova): também se pode ver rapidamente que
é gradiente do escalar
, pois
e o rotacional de um gradiente é sempre zero, então
.
Passo 4
Definição do operador
e interpretação.
Mini-aula: dado um vetor
, o operador escalar
significa
Quando esse operador age sobre um campo vetorial, ele age componente a componente. Pense nele como a derivada direcional "ao longo de
" aplicada a cada componente do campo.
Passo 5
Aplicando
ao vetor
.
Queremos calcular
Aplicando o operador às componentes separadamente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Portanto, juntando:
Observação útil para a prova: esta igualdade vale mesmo se os
dependerem de
. O operador aplica derivadas às coordenadas
(que têm derivadas simples), resultando nas próprias componentes
avaliadas no ponto — ou, dito de outra forma, a matriz jacobiana de
é a matriz identidade, então multiplicá-la pelo vetor
reproduz
.