1-19 Se r for o vetor que vai desde a origem ao ponto (x, y, z), demonstre as fórmulas
\nabla \cdot \mathbf{r}=3 ; \quad \nabla \times \mathbf{r}=0 ; \quad \rightarrow(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{r}=\mathbf{u} .
(Nota: \mathbf{u} é qualquer vetor.)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar três fórmulas envolvendo o vetor \mathbf{r} que vai da origem ao ponto (x,y,z). As perguntas são:
  • Mostrar que \nabla \cdot \mathbf{r}=3.
  • Mostrar que \nabla \times \mathbf{r}=0.
  • Mostrar que (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{u} (onde \mathbf{u} é um vetor qualquer).
Informações dadas e notação que vamos usar (peguei estas do enunciado):
  • O vetor posição é \mathbf{r}= vetor que vai da origem ao ponto (x,y,z).
  • Denotar as componentes de \mathbf{r} por
\mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • Escrever o operador nabla como
\nabla=\mathbf{i}\,\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\,\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\,\frac{\partial}{\partial z}.
  • Seja \mathbf{u} um vetor qualquer; escrever suas componentes como
\mathbf{u}=u_1\,\mathbf{i}+u_2\,\mathbf{j}+u_3\,\mathbf{k},
onde os u_j podem depender ou não de (x,y,z) — a demonstração será válida de qualquer forma.

Passo 2

Explicando a definição de divergência e calculando \nabla\cdot\mathbf{r}.
Definição (uma mini-aula): a divergência de um campo vetorial \mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k} é o escalar dado por
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Aqui cada termo significa a taxa de variação da componente correspondente na direção do mesmo eixo.
Aplicando isso ao nosso \mathbf{r}, as componentes são F_1=x, F_2=y, F_3=z. Então calculamos as derivadas parciais (explicando: \partial x/\partial x=1, porque a função x muda uma unidade quando x aumenta uma unidade; similarly for y,z):
\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.

Passo 3

Explicando a definição de rotacional (curl) e calculando \nabla\times\mathbf{r}.
Definição (mini-aula): o rotacional de \mathbf{F}=F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k} é o vetor
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Isso mede a tendência de rotação local do campo.
Para \mathbf{r} temos F_1=x, F_2=y, F_3=z. Vamos calcular cada componente do rotacional, lembrando que derivadas cruzadas de coordenadas se anulam (por exemplo \partial x/\partial y=0 porque x não depende de y):
Primeira componente (multiplicando por \mathbf{i}):
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}=0-0=0.
Segunda componente (multiplicando por \mathbf{j}):
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=0-0=0.
Terceira componente (multiplicando por \mathbf{k}):
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}=0-0=0.
Somando as componentes:
\displaystyle \nabla\times\mathbf{r}=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=\mathbf{0}.
Comentário conceitual curto (útil na prova): também se pode ver rapidamente que \mathbf{r} é gradiente do escalar \tfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2), pois
\nabla\!\left(\tfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)\right)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}=\mathbf{r},
e o rotacional de um gradiente é sempre zero, então \nabla\times\mathbf{r}=0.

Passo 4

Definição do operador (\mathbf{u}\cdot\nabla) e interpretação.
Mini-aula: dado um vetor \mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k}, o operador escalar (\mathbf{u}\cdot\nabla) significa
(\mathbf{u}\cdot\nabla)=u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}+u_3\frac{\partial}{\partial z}.
Quando esse operador age sobre um campo vetorial, ele age componente a componente. Pense nele como a derivada direcional "ao longo de \mathbf{u}" aplicada a cada componente do campo.

Passo 5

Aplicando (\mathbf{u}\cdot\nabla) ao vetor \mathbf{r}.
Queremos calcular
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\left(u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}+u_3\frac{\partial}{\partial z}\right)(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}).
Aplicando o operador às componentes separadamente:
Para a componente \mathbf{i}:
\left(u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}+u_3\frac{\partial}{\partial z}\right)x = u_1\frac{\partial x}{\partial x}+u_2\frac{\partial x}{\partial y}+u_3\frac{\partial x}{\partial z} = u_1\cdot 1 + u_2\cdot 0 + u_3\cdot 0 = u_1.
Para a componente \mathbf{j}:
\left(u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}+u_3\frac{\partial}{\partial z}\right)y = u_1\frac{\partial y}{\partial x}+u_2\frac{\partial y}{\partial y}+u_3\frac{\partial y}{\partial z} = 0 + u_2\cdot 1 + 0 = u_2.
Para a componente \mathbf{k}:
\left(u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}+u_3\frac{\partial}{\partial z}\right)z = u_1\frac{\partial z}{\partial x}+u_2\frac{\partial z}{\partial y}+u_3\frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + u_3\cdot 1 = u_3.
Portanto, juntando:
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{r}=u_1\,\mathbf{i}+u_2\,\mathbf{j}+u_3\,\mathbf{k}=\mathbf{u}.
Observação útil para a prova: esta igualdade vale mesmo se os u_j dependerem de (x,y,z). O operador aplica derivadas às coordenadas x,y,z (que têm derivadas simples), resultando nas próprias componentes u_j avaliadas no ponto — ou, dito de outra forma, a matriz jacobiana de \mathbf{r} é a matriz identidade, então multiplicá-la pelo vetor \mathbf{u} reproduz \mathbf{u}.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{r}=3
\nabla\times\mathbf{r}=\mathbf{0}
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{r}=\mathbf{u}

Exercícios relacionados