13)

Para estimar a quantia média gasta por um cliente pra comprar ração em uma agropecuária,
foram coletados dados de uma amostra de 13 clientes. Se a média e o erro padrão da média são respectivamente \mathrm{R} \ 82,00 e\mathrm{R} $15,60$, para a amostra, determine o intervalo de 95% para a média da população. (Considere que a variável segue uma distribuição normal na população).

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95 % para a média populacional do gasto em ração, com base em uma amostra de n=13 clientes. A amostra tem média \bar x = R$82,00 e erro padrão da média s_{\bar x}= R$ 15,60. Como a variável é normal e n é pequeno, vamos usar a distribuição t com n-1=12 graus de liberdade.

Passo 2

O intervalo de confiança para a média populacional \mu em nível de 100(1-\alpha)\% =95\% é dado por
\bar x \pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\;s_{\bar x}.

Passo 3

Precisamos do quantil t_{1-\alpha/2,\,12}=t_{0,975,12}. Consultando tabela t ou calculadora, obtemos
t_{0,975,12}\approx 2,179.

Passo 4

Calculamos a margem de erro multiplicando o quantil pelo erro padrão:
E = t_{0,975,12}\cdot s_{\bar x} =2,179 \times 15{,}60 \approx 33{,}99.

Passo 5

Os limites do intervalo são
\text{limite inferior} = \bar x - E = 82{,}00 - 33{,}99 = 48{,}01,
\text{limite superior} = \bar x + E = 82{,}00 + 33{,}99 = 115{,}99.

Resposta

O intervalo de 95 % para a média do gasto populacional é aproximadamente
(\text{R\$}48{,}01,\;\text{R\$ }115{,}99).

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