7.13 •• PC Um forno de micro-ondas de 10,0 \mathrm{~kg} é empurrado 6,0 \mathrm{~m} para cima em uma rampa inclinada com um ângulo de 36,9^{\circ} acima da horizontal, por uma força constante \overrightarrow{\boldsymbol{F}} de módulo igual a 110 N atuando paralelamente à rampa. O coeficiente de atrito cinético entre o forno e a rampa é igual a 0,250 . (a) Qual é o trabalho realizado pela força \overrightarrow{\boldsymbol{F}} sobre o forno? (b) Qual é o trabalho realizado pela força de atrito sobre o forno? (c) Calcule o aumento da energia potencial para o forno. (d) Use suas respostas dos itens (a), (b) e (c) para calcular o aumento da energia cinética do forno. (e) Use \Sigma \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=m \overrightarrow{\boldsymbol{a}} para calcular a aceleração do forno. Supondo que o forno inicialmente esteja em repouso, use a aceleração dele para calcular sua velocidade depois de se deslocar por 6,0 \mathrm{~m}. A partir daí, calcule o aumento de energia cinética e compare o resultado com o obtido no item (d).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as seguintes quantidades.
Dados:
m=10,0\\ \mathrm{kg},\quad s=6,0\\ \mathrm{m},\quad \theta=36,9^\circ,\quad F=110\\ \mathrm{N},\quad \mu_k=0,250,\quad g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
(a) Qual o trabalho realizado pela força \overrightarrow{F} que atua paralelamente à rampa?
(b) Qual o trabalho realizado pela força de atrito cinético?
(c) Qual o aumento da energia potencial do forno?
(d) Usando (a),(b),(c), qual é o aumento da energia cinética do forno?
(e) Usando \sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}, calcule a aceleração; supondo velocidade inicial nula, encontre a velocidade após 6,0\\ \mathrm{m}; calcule o aumento da energia cinética por esse método e compare com (d).

Passo 2

Conceito e cálculo do trabalho da força aplicada (item (a)).
Definição: o trabalho realizado por uma força constante que atua na direção do deslocamento é
W = F\,s\cos\varphi,
onde F é o módulo da força, s o módulo do deslocamento e \varphi o ângulo entre força e deslocamento. Aqui a força atua paralela ao deslocamento (mesma direção), então \varphi=0^\circ e \cos 0^\circ=1.
Cálculo:
W_F = F\,s = 110\cdot 6,0 = 660\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho da força aplicada é 660\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Força de atrito e seu trabalho (item (b)).
Conceito: a força de atrito cinético tem módulo
f_k=\mu_k N,
onde N é a força normal. Para um objeto sobre uma rampa inclinada sem aceleração perpendicular, a normal é a componente de mg perpendicular à rampa:
N = mg\cos\theta.
Expliquei: m é a massa, g a aceleração da gravidade e \theta o ângulo da rampa; \cos\theta pega a componente perpendicular do peso.
Cálculo passo a passo:
mg = 10,0\cdot 9,80 = 98,0\\ \mathrm{N}.
Usamos os valores trigonométricos aproximados para \theta=36,9^\circ:
\sin36,9^\circ\approx 0,600,\qquad \cos36,9^\circ\approx 0,800.
Assim
N = 98,0\cdot 0,800 = 78,4\\ \mathrm{N}.
Então
f_k = \mu_k N = 0,250\cdot 78,4 = 19,6\\ \mathrm{N}.
A força de atrito é contrária ao deslocamento, logo o trabalho da força de atrito é negativo e vale
W_{\text{atrito}} = -f_k\,s = -19,6\cdot 6,0 = -117,6\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aumento da energia potencial (item (c)).
Conceito: variação da energia potencial gravitacional quando um objeto sobe uma altura h é
\Delta U = mg\,h,
onde h é a elevação vertical. A relação entre deslocamento ao longo da rampa s e a elevação h é
h = s\sin\theta,
pois \sin\theta dá a razão entre a altura e a hipotenusa (o deslocamento sobre a rampa).
Cálculo:
h = 6,0\cdot 0,600 = 3,6\\ \mathrm{m},
\Delta U = mg\,h = 98,0\cdot 3,6 = 352,8\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aumento da energia cinética pelo teorema do trabalho (item (d)).
Conceito: o teorema do trabalho-energia (ou trabalho da força resultante) afirma que o trabalho total realizado por todas as forças atuantes sobre um corpo é igual à variação da energia cinética:
W_{\text{total}} = \Delta K.
As forças que fazem trabalho aqui são: força aplicada W_F, atrito W_{\text{atrito}} e peso W_g. O trabalho do peso quando o objeto sobe é
W_g = -mg\,h = -\Delta U.
Portanto
\Delta K = W_F + W_{\text{atrito}} + W_g = W_F + W_{\text{atrito}} - \Delta U.
Substituindo os valores obtidos:
\Delta K = 660 - 117,6 - 352,8 = 189,6\\ \mathrm{J}.
Interpretação: com os números dados, a energia cinética do forno aumenta em 189,6\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Cálculo da aceleração, velocidade final e comparação de \Delta K (item (e)).
Primeiro: equacionar as forças ao longo da rampa (eixo positivo para cima da rampa). As forças paralelas à rampa são:
  • F (para cima),
  • f_k (para baixo),
  • componente do peso para baixo: mg\sin\theta.
Usando Newton:
\sum F = F - f_k - mg\sin\theta = m a.
Expliquei: a é a aceleração ao longo da rampa; se a soma for positiva, acelera para cima.
Calcule mg\sin\theta:
mg\sin\theta = 98,0\cdot 0,600 = 58,8\\ \mathrm{N}.
Logo a soma das forças:
F - f_k - mg\sin\theta = 110 - 19,6 - 58,8 = 31,6\\ \mathrm{N}.
Portanto a aceleração é
a = \frac{31,6}{m} = \frac{31,6}{10,0} = 3,16\\ \mathrm{m/s^2}.
Agora, supondo velocidade inicial v_0=0, a velocidade após deslocar s=6,0\\ \mathrm{m} com aceleração constante é dada por:
v^2 = v_0^2 + 2 a s \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2as}.
Calcule:
v = \sqrt{2\cdot 3,16\cdot 6,0} = \sqrt{37,92} \approx 6,16\\ \mathrm{m/s}.
Aumento de energia cinética calculado a partir da velocidade:
\Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10,0\cdot (6,16)^2 = 5,0\cdot 37,92 = 189,6\\ \mathrm{J}.
Comparação: o valor de \Delta K obtido via trabalho (Passo 5) e via segunda lei + cinemática coincide: ambos dão 189,6\\ \mathrm{J}. Isso é uma verificação consistente das contas.

Resposta

(a) 660\\ \mathrm{J}
(b) -117,6\\ \mathrm{J}
(c) 352,8\\ \mathrm{J}
(d) \Delta K = 189,6\\ \mathrm{J}
(e) a=3,16\\ \mathrm{m/s^2},\\ v=6,16\\ \mathrm{m/s},\\ \Delta K=189,6\\ \mathrm{J}

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