7.19 •• A constante de uma certa mola de massa desprezível é dada por
. (a) Qual deve ser a distância da compressão dessa mola para que ela armazene uma energia potencial igual a
? (b) Você coloca uma das extremidades da mola verticalmente sobre o solo e, então, deixa cair sobre a mola um livro de
a partir do repouso. Calcule a distância da compressão máxima dessa mola.
Passo 1
Dados fornecidos e o que é pedido:
- Constante da mola:
. - (a) Pede-se a distância de compressão
para que a mola armazene energia potencial igual a . - (b) Uma extremidade da mola está apoiada no solo; um livro de massa
é deixado cair sobre a mola a partir do repouso. Pede-se a compressão máxima da mola após o impacto. - Usaremos a aceleração da gravidade
(valor padrão).
Passo 2
Conceito importante — energia potencial elástica de uma mola:
- Uma mola ideal que sofre uma compressão (ou extensão) de
armazena energia elástica dada por
- Aqui
é a energia armazenada em joules, é a constante da mola em , e é a compressão (ou alongamento) em metros. - Essa fórmula vem de integrar a força restauradora
para obter trabalho/energia. Não precisa decorar só de ouvido: pense que quanto maior , maior a energia e ela cresce com .
Passo 3
Resolvendo a parte (a):
- Queremos
. Colocando os valores temos a equação
- Isolando
:
- Tomando raiz quadrada para achar
:
- Convertendo para centímetros (opcional, para intuição):
. - Então a compressão necessária para armazenar
é cerca de .
Passo 4
Preparação para a parte (b) — princípio físico e hipótese:
- Ao deixar o livro cair a partir do repouso sobre a mola, durante a compressão máxima a energia cinética do livro é zero (no ponto mais baixo ele para momentaneamente). Assim, a energia gravitacional convertida durante a descida é armazenada como energia elástica na mola.
- Supondo que o livro começa a tocar a mola quando a compressão é
(interpretção usual do enunciado), a perda de energia potencial gravitacional durante a compressão por uma distância é . - Pela conservação da energia mecânica:
ou seja
- Observação: a equação acima pressupõe ausência de perdas por atrito ou dissipação; é o argumento padrão em exercícios elementares.
Passo 5
Resolvendo a equação da parte (b):
- Da equação
podemos simplificar dividindo por
(a solução
corresponde ao caso trivial sem compressão), obtendo
- Isolando
:
- Substituindo os valores
, , :
- Em centímetros:
. - Comentário de intuição: o livro comprime menos a mola do que a compressão que armazenaria
porque a energia gravitacional disponível (que é ) para essa compressão resulta em uma energia elástica menor do que neste caso.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) (ou
).
(b)