7.19 •• A constante de uma certa mola de massa desprezível é dada por k=800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. (a) Qual deve ser a distância da compressão dessa mola para que ela armazene uma energia potencial igual a 1,20 \mathrm{~J} ? (b) Você coloca uma das extremidades da mola verticalmente sobre o solo e, então, deixa cair sobre a mola um livro de 1,60 \mathrm{~kg} a partir do repouso. Calcule a distância da compressão máxima dessa mola.

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Constante da mola: k=800\\ \mathrm{N/m}.
  • (a) Pede-se a distância de compressão x para que a mola armazene energia potencial igual a 1,20\\ \mathrm{J}.
  • (b) Uma extremidade da mola está apoiada no solo; um livro de massa m=1,60\\ \mathrm{kg} é deixado cair sobre a mola a partir do repouso. Pede-se a compressão máxima x da mola após o impacto.
  • Usaremos a aceleração da gravidade \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).

Passo 2

Conceito importante — energia potencial elástica de uma mola:
  • Uma mola ideal que sofre uma compressão (ou extensão) de \,x armazena energia elástica dada por
U_{\text{mol}}=\tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}.
  • Aqui \,U_{\text{mol}} é a energia armazenada em joules, \,k é a constante da mola em \mathrm{N/m}, e \,x é a compressão (ou alongamento) em metros.
  • Essa fórmula vem de integrar a força restauradora \,F=-kx para obter trabalho/energia. Não precisa decorar só de ouvido: pense que quanto maior x, maior a energia e ela cresce com x^{2}.

Passo 3

Resolvendo a parte (a):
  • Queremos \tfrac{1}{2}k x^{2}=1,20\\ \mathrm{J}. Colocando os valores temos a equação
\tfrac{1}{2}\cdot 800\cdot x^{2}=1{,}20.
  • Isolando x^{2}:
x^{2}=\frac{2\cdot 1{,}20}{800}=\frac{2{,}40}{800}=0{,}003.
  • Tomando raiz quadrada para achar x:
x=\sqrt{0{,}003}\approx 0{,}054772\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para centímetros (opcional, para intuição): x\approx 5{,}48\\ \mathrm{cm}.
  • Então a compressão necessária para armazenar 1{,}20\\ \mathrm{J} é cerca de 0{,}0548\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Preparação para a parte (b) — princípio físico e hipótese:
  • Ao deixar o livro cair a partir do repouso sobre a mola, durante a compressão máxima a energia cinética do livro é zero (no ponto mais baixo ele para momentaneamente). Assim, a energia gravitacional convertida durante a descida é armazenada como energia elástica na mola.
  • Supondo que o livro começa a tocar a mola quando a compressão é x=0 (interpretção usual do enunciado), a perda de energia potencial gravitacional durante a compressão por uma distância x é \,m g x.
  • Pela conservação da energia mecânica:
\text{energia perdida pela gravidade}=\text{energia armazenada na mola},
ou seja
m g x=\tfrac{1}{2}k x^{2}.
  • Observação: a equação acima pressupõe ausência de perdas por atrito ou dissipação; é o argumento padrão em exercícios elementares.

Passo 5

Resolvendo a equação da parte (b):
  • Da equação
m g x=\tfrac{1}{2}k x^{2},
podemos simplificar dividindo por x (a solução x=0 corresponde ao caso trivial sem compressão), obtendo
m g=\tfrac{1}{2}k x.
  • Isolando x:
x=\frac{2 m g}{k}.
  • Substituindo os valores \,m=1{,}60\\ \mathrm{kg}, \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, \,k=800\\ \mathrm{N/m}:
x=\frac{2\cdot 1{,}60\cdot 9{,}8}{800}=\frac{31{,}36}{800}=0{,}0392\\ \mathrm{m}.
  • Em centímetros: x\approx 3{,}92\\ \mathrm{cm}.
  • Comentário de intuição: o livro comprime menos a mola do que a compressão que armazenaria 1{,}20\\ \mathrm{J} porque a energia gravitacional disponível (que é m g x) para essa compressão resulta em uma energia elástica menor do que 1{,}20\\ \mathrm{J} neste caso.

Resposta

(a) x\approx 0{,}0548\\ \mathrm{m} (ou 5{,}48\\ \mathrm{cm}).
(b) x\approx 0{,}0392\\ \mathrm{m} (ou 3{,}92\\ \mathrm{cm}).

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