7.15 •• Uma força de 520 N mantém uma certa mola esticada por uma distância de 0,200 \mathrm{~m}.
BIO Tendões. Os tendões são fibras elásticas fortes, que conectam músculos aos ossos. Até certo ponto, eles obedecem à lei de Hooke. Em testes de laboratório sobre um tendão em particular, descobriu-se que, quando um objeto de 250 g era
pendurado a ele, o tendão esticava 1,23 \mathrm{~cm}. (a) Ache a constante de força desse tendão em N/m. (b) Em virtude de sua espessura, a tensão máxima que esse tendão pode suportar sem que se rompa é 138 N . Até que ponto o tendão pode se esticar sem romper e quanta energia está armazenada nele nesse ponto?

Passo 1

O enunciado fornece um tendão que, quando um objeto de massa 0,250\\ \mathrm{kg} é pendurado, estica 1,23\\ \mathrm{cm}. Também nos informa que a tensão máxima que o tendão pode suportar sem romper é 138\\ \mathrm{N}. O problema pede duas coisas:
  1. (a) A constante de força k do tendão, em \mathrm{N/m}.
  2. (b) A extensão máxima x_{\max} antes de romper e a energia armazenada U no tendão nesse ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
m = 0,250\\ \mathrm{kg}
\text{extensão observada } x_{\text{obs}} = 1,23\\ \mathrm{cm}ã
\text{tensão máxima } F_{\max} = 138\\ \mathrm{N}ãá

Passo 2

Conceito que vamos usar: a lei de Hooke (aplicável para pequenas deformações elásticas). Ela diz que a força restauradora F que uma mola (ou tendão elástico) exerce é proporcional à extensão x:
F = kx.
Explicando as variáveis:
  • F é a força em newtons ( \mathrm{N});
  • k é a constante de força (rigidez) em \mathrm{N/m};
  • x é a extensão (a diferença entre o comprimento esticado e o repouso) em metros ( \mathrm{m}).
Na situação de equilíbrio com um peso pendurado, a força que estica o tendão é o peso mg do objeto. Assim, para determinar k isolamos:
k = \frac{F}{x} = \frac{mg}{x}.

Passo 3

Primeiro convertemos a massa em força (peso). Usamos g = 9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
F = mg = 0,250 \cdot 9,80 = 2,45\\ \mathrm{N}.
Explanação: multiplicar a massa pelo campo gravitacional dá a força peso em newtons; aqui isto é a força que estica o tendão na medição.

Passo 4

Convertemos a extensão dada de centímetros para metros:
x_{\text{obs}} = 1,23\\ \mathrm{cm} = 0,0123\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos k = F/x:
k = \frac{2,45}{0,0123}.
Fazendo a divisão (mostrando o raciocínio numérico):
k \approx 199,2\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando razoavelmente (dados têm cerca de três algarismos significativos), podemos usar
k \approx 199\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Agora a parte (b): até que ponto o tendão pode se esticar sem romper? Usamos F_{\max}=k x_{\max}. Isolando x_{\max}:
x_{\max} = \frac{F_{\max}}{k}.
Substituindo F_{\max}=138\\ \mathrm{N} e k\approx199,2\\ \mathrm{N/m}:
x_{\max} \approx \frac{138}{199{,}2} \approx 0{,}693\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: isso equivale a 69{,}3\\ \mathrm{cm}. É uma extensão grande comparada aos 1{,}23\\ \mathrm{cm} observados com 0{,}25\\ \mathrm{kg}, o que significa que a ruptura exigiria uma força muito maior que o peso daquele objeto de teste.

Passo 6

Agora calculamos a energia elástica armazenada no tendão na extensão x_{\max}. A energia potencial elástica de uma mola linear é
U = \tfrac{1}{2} k x^{2}.
Outra forma equivalente, usando F=kx, é
U = \tfrac{1}{2} F x.
Usamos U = \tfrac{1}{2} F_{\max} x_{\max} (mais direto numericamente):
U = \tfrac{1}{2}\cdot 138 \cdot 0{,}693.
Fazendo a conta:
U \approx 47{,}8\\ \mathrm{J}.
Explicação: a energia é a área sob a curva força versus deslocamento; para uma força que cresce linearmente de 0 até F_{\max} a energia é a área de um triângulo com base x_{\max} e altura F_{\max}, ou seja \tfrac{1}{2}F_{\max}x_{\max}.

Passo 7

Resumo numérico e observações finais: usamos a lei de Hooke, convertemos unidades com cuidado (g → N, cm → m) e aplicamos fórmulas básicas para força e energia elástica. Se na prova pedirem, sempre indique as unidades e justifique conversões; isso evita perder pontos bobos. Você mandou bem de trazer o problema — com calma e esses passos dá para resolver tranquilo. Força!

Resposta

k \approx 199\\ \mathrm{N/m}
x_{\max} \approx 0{,}693\\ \mathrm{m}
U \approx 47{,}8\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados