Às 13 horas, um navio A está 50 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o norte a 35 km/h, e o navio B está indo para o leste a 15 km/h. Qual a velocidade em que eles se afastam às 16 horas? (suponha uma aproximação plana para a região onde estão os navios).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento relativo entre dois navios. O navio A está 50 km a oeste do navio B às 13 horas. O navio A vai para o norte a 35 km/h e o navio B vai para o leste a 15 km/h. Queremos descobrir quão rápido eles estão se afastando um do outro às 16 horas. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quanto tempo passou desde as 13 horas até as 16 horas. São 3 horas de diferença. Isso vai nos ajudar a calcular as posições dos navios nesse intervalo de tempo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição de cada navio após 3 horas.
  • Navio A: Ele está indo para o norte a 35 km/h. Então, em 3 horas, ele terá se deslocado:
    â
  • Navio B: Ele está indo para o leste a 15 km/h. Então, em 3 horas, ele terá se deslocado:
    â

Passo 4

Vamos agora determinar a posição relativa dos navios após 3 horas.
  • Navio A: Como ele partiu 50 km a oeste e se move para o norte, sua posição final será 50 km a oeste e 105 km ao norte de onde estava às 13 horas.
  • Navio B: Ele parte de um ponto de referência comum e se move 45 km para o leste.
Agora, para achar a distância entre os dois navios, vamos considerar que o navio A se moveu para o norte, aumentando a distância na direção norte-sul, enquanto o navio B se move para o leste, aumentando a distância na direção leste-oeste.

Passo 5

Para achar a distância entre os navios, usamos o Teorema de Pitágoras, já que os deslocamentos são perpendiculares:
Onde:
  • é o tempo em horas após as 13 horas.
  • km é a distância inicial a oeste.
  • km é o deslocamento leste do navio B.
  • km é o deslocamento norte do navio A.

Passo 6

Queremos saber a taxa de variação da distância em relação ao tempo às 16 horas, ou seja, quando .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Simplificando:
Agora, substituímos :
Calculando os valores:
Simplificando :
Então:

Resposta

Às 16 horas, os navios A e B estão se afastando um do outro a uma velocidade de aproximadamente 36 km/h.

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