Calcule as integrais das funções racionais abaixo
& integral x^2+x+1x^2-x d x & integral x+1x^2+9 d x & integral 2x^3(x+2) d x & integral 2 x^2+4x^3-8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular quatro integrais de funções racionais, ou seja, frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais como divisão polinomial e frações parciais. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeira Integral: x^2 + x + 1x^2 - x = 1 + 2x + 1x^2 - x
Primeiro, percebemos que o grau do numerador (grau 2) é igual ao do denominador (grau 2). Quando isso acontece, a gente pode começar fazendo uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir integral x^2 + x + 1x^2 - x , dx = integral 1 , dx + integral 2x + 1x^2 - x , dx por integral 1 , dx = x :
x^2 - x = x(x - 1)
Agora, temos:
2x + 1x(x - 1) = Ax + Bx - 1
A primeira integral é simples:
2x + 1 = A(x - 1) + Bx
Para a segunda integral, vamos fatorar o denominador:
2(0) + 1 = A(-1) + B(0) Rightarrow A = -1
Agora, vamos usar frações parciais para decompor:
2(1) + 1 = A(0) + B(1) Rightarrow B = 3
Multiplicando ambos os lados por 2x + 1x(x - 1) = -1x + 3x - 1 :
integral -1x , dx + integral 3x - 1 , dx = -ln|x| + 3ln|x - 1|
Escolhendo integral x^2 + x + 1x^2 - x , dx = x - ln|x| + 3ln|x - 1| + C :
Escolhendo :
Então:
Agora, integraremos:
Juntando tudo:

Passo 3

Segunda Integral: x + 1x^2 + 9 = xx^2 + 9 + 1x^2 + 9
Aqui, o denominador é integral xx^2 + 9 , dx = 12 ln|x^2 + 9| , que não fatoramos mais, e o numerador é integral 1x^2 + 9 , dx = 13 arctan(x3) . Vamos separar a fração:
integral x + 1x^2 + 9 , dx = 12 ln|x^2 + 9| + 13 arctan(x3) + C
Agora, integramos cada parte separadamente.
Para , usamos substituição:
Deixe , então , ou seja, . Assim:
Para , reconhecemos a forma padrão :
Aqui, , então:
Juntando tudo:

Passo 4

Terceira Integral: 2x^3(x + 2) = Ax + Bx^2 + Cx^3 + Dx + 2
Aqui, o denominador é 2 = A x^2(x + 2) + B x(x + 2) + C(x + 2) + D x^3 . Vamos usar frações parciais para decompor a fração.
Proponha:
2 = A x^3 + 2A x^2 + B x^2 + 2B x + C x + 2C + D x^3
Multiplicando ambos os lados por 2 = (A + D) x^3 + (2A + B) x^2 + (2B + C) x + 2C :
A + D = 0 2A + B = 0 2B + C = 0 2C = 2
Expandindo:
2x^3(x + 2) = 14x + -12x^2 + 1x^3 + -14x + 2
Agrupando termos semelhantes:
integral 2x^3(x + 2) , dx = 14 ln|x| + 12 1x - 12x^2 - 14 ln|x + 2| + C
Agora, igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Da última equação:
De
De
De
Então, a decomposição fica:
Agora, integraremos cada termo:

Passo 5

Quarta Integral: 2x^2 + 4x^3 - 8 = 2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Primeiro, notamos que o denominador é 2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 + 2x + 4 , que é uma diferença de cubos: 2(x^2 + 2) = A(x^2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x - 2) .
Vamos verificar se podemos simplificar a fração. O numerador é 2x^2 + 4 = A x^2 + 2A x + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C , que podemos reescrever como 2x^2 + 4 = (A + B) x^2 + (2A - 2B + C) x + (4A - 2C) .
A fração fica:
A + B = 2 2A - 2B + C = 0 4A - 2C = 4
Vamos usar frações parciais:
2A - 2(2 - A) + (2A - 2) = 0 2A - 4 + 2A + 2A - 2 = 0 6A - 6 = 0 Rightarrow A = 1
Multiplicando ambos os lados por B = 2 - 1 = 1 C = 2(1) - 2 = 0 :
2(x^2 + 2)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 1x - 2 + xx^2 + 2x + 4
Expandindo:
ln|x - 2|
Agrupando termos semelhantes:
x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3
Igualando os coeficientes:
x = (2x + 2)2 - 1
Resolvendo:
Da terceira equação: integral xx^2 + 2x + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 2x + 4| - integral 1x^2 + 2x + 4 , dx
Da primeira equação: integral 1(x + 1)^2 + 3 , dx = 1raiz3 arctan(x + 1raiz3)
Substituindo integral xx^2 + 2x + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 2x + 4| - 1raiz3 arctan(x + 1raiz3) e integral 2x^2 + 4x^3 - 8 , dx = ln|x - 2| + 12 ln|x^2 + 2x + 4| - 1raiz3 arctan(x + 1raiz3) + C na segunda equação:
Então:
Então, a decomposição fica:
Agora, vamos integrar cada termo:
Para :
Para :
Vamos completar o quadrado no denominador:
Faça a substituição , então . Mas precisamos ajustar:
Podemos reescrever o numerador:
Então:
A segunda parte é:
Então, juntando tudo:
Portanto, a integral original fica:

Resposta

Resumindo as integrais calculadas:

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