Calcule as seguintes integrais impróprias
r integral0^infty e^-2 x cos x d x=lim b infty integral0^b e^-2 x cos x d x integral0^infty e^-3 x sen 2 x d x=lim b infty integral0^b e^-3 x sen 2 x d x integral0^1 x d xraiz1-x^2=lim a 1-1- integral0^a x d xraiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas integrais impróprias que você me mandou! O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais que têm limites infinitos ou pontos onde a função não está bem definida. Vamos precisar usar técnicas de integração específicas, como integrais de funções exponenciais com funções trigonométricas e substituição para resolver essas integrais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral0^infty e^-2x cos x , dx
Para resolver essa, vamos usar uma fórmula padrão para integrais do tipo integral0^infty e^-ax cos(bx) , dx = aa^2 + b^2 , que é:
22^2 + 1^2 = 24 + 1 = 25
Aqui, e . Aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral:
integral0^infty e^-3x sin 2x , dx
Usamos uma fórmula similar para integrais do tipo integral0^infty e^-ax sin(bx) , dx = ba^2 + b^2 :
23^2 + 2^2 = 29 + 4 = 213
Aqui, e . Aplicando a fórmula:

Passo 4

Por último, vamos resolver a terceira integral:
integral0^1 xraiz1 - x^2 , dx
Para essa, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar du = -2x , dx Rightarrow -12 du = x , dx . Então, a derivada de -12 integral 1raizu , du = -12 cdot 2 raizu + C = -raizu + C = -raiz1 - x^2 + C em relação a [ -raiz1 - x^2 ]0^1 = -raiz1 - 1^2 + raiz1 - 0^2 = -0 + 1 = 1 é:
Substituindo na integral:
Agora, aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

As integrais impróprias calculadas são:

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