Um canal de seção retangular foi projetado para escoar água com declividade de 0,5 \%. O material de construção do canal apresenta um coeficiente de Chézy de 80 (dimensão \mathrm{L}^{0,5} \mathrm{T}^{-1} ). Determine a vazão escoada em escoamento permanente e uniforme sabendo que a largura do canal é de 2,0 \mathrm{~m} e a profundidade de escoamento é 1,0 \mathrm{~m}. Calcule também a tensão trativa provocada na parede do canal considerando o peso especifico da água igual a 9.810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ( \mathbf{2 , 0} pontos).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Largura do canal: b=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade (cota de escoamento): y=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Declividade do canal (talude hidráulico = declive da energia): 0{,}5\% = 0{,}005.
  • Coeficiente de Chézy: C=80 (unidades \mathrm{L}^{0{,}5}\mathrm{T}^{-1}).
  • Peso específico da água: \gamma=9.810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.
O que se pede:
  1. Determinar a vazão em escoamento permanente e uniforme (ou seja, Q usando a fórmula de Chézy).
  2. Calcular a tensão trativa (tensão de cisalhamento média na parede/leito), usando o \gamma fornecido.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Fórmula de Chézy para velocidade média:
V = C\,\sqrt{R\,S}
onde V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}), C é o coeficiente de Chézy, R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}) e S é a declividade (adimensional).
  • Definição do raio hidráulico R:
R=\frac{A}{P}
onde A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2) e P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}).
Para uma seção retangular de largura b e profundidade y:
A = b\,y, \qquad P = b + 2y.
Vamos calcular A, P e R com os dados dados:
A = 2{,}0 \times 1{,}0 = 2{,}0\\ \mathrm{m}^2.
P = 2{,}0 + 2\times 1{,}0 = 4{,}0\\ \mathrm{m}.
R = \frac{A}{P} = \frac{2{,}0}{4{,}0} = 0{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Chézy para obter a velocidade média:
V = C\,\sqrt{R\,S} = 80\,\sqrt{0{,}5 \times 0{,}005}.
Calcule o produto dentro da raiz:
R\,S = 0{,}5 \times 0{,}005 = 0{,}0025.
A raiz quadrada é
\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05.
Portanto
V = 80 \times 0{,}05 = 4{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A vazão Q é a área vezes a velocidade média:
Q = A\,V = 2{,}0 \times 4{,}0 = 8{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Comentário rápido: para conferir ordem de grandeza, velocidade 4{,}0\\ \mathrm{m/s} é alta mas compatível com Chézy grande e declive razoável; área 2{,}0\\ \mathrm{m}^2 8{,}0\\ \mathrm{m}^3/s.

Passo 5

Agora a tensão trativa média na parede/leito. A fórmula clássica para a tensão média na superfície molhada (tensão de fundo média) em escoamento uniforme é
\tau_0 = \gamma\,R\,S
onde \tau_0 é a tensão média ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 ou Pa), \gamma é o peso específico do fluido, R o raio hidráulico e S a declividade.
Substituindo:
\tau_0 = 9.810 \times 0{,}5 \times 0{,}005.
Calcule passo a passo:
0{,}5 \times 0{,}005 = 0{,}0025,
\tau_0 = 9.810 \times 0{,}0025 = 24{,}525\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.
Arredondando sensatamente, \tau_0 \approx 24{,}5\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 (ou 24{,}525\\ \mathrm{Pa}).

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (animador): com a largura estreita e profundidade de 1{,}0\\ \mathrm{m}, o raio hidráulico ficou em 0{,}5\\ \mathrm{m}. O grande valor de C=80 e a declividade 0{,}005 resultaram numa velocidade média alta ( 4{,}0\\ \mathrm{m/s}), de onde veio a vazão 8{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. A tensão média na parede é pequena em termos absolutos ( \sim 24{,}5\\ \mathrm{Pa}), o que é útil para avaliar erosão ou dimensionamento do revestimento.

Resposta

Q = 8{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
\tau = 24{,}525\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2

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