Um reservatório de grandes dimensões abastece uma tubulação de seção circular que descarrega livremente para a atmosfera em uma saída a jusante. A água (fluido ideal e incompressível) escoa através da tubulação de diâmetro constante de 20 cm , com uma vazão de
. O ponto de saída está a uma altura de 5 m em relação à base da tubulação na entrada do reservatório, onde a pressão é considerada igual à pressão atmosférica. Determine a altura (cota) do nível de água no reservatório em relação ao ponto de descarga dado a aceleração da gravidade
igual a
pontos
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo de forma bem clara):
- Diâmetro da tubulação:
. - Vazão volumétrica:
. - A descarga é livre para a atmosfera (pressão na saída igual à pressão atmosférica).
- No ponto de entrada no reservatório a pressão também é considerada igual à pressão atmosférica.
- O ponto de saída está a uma altura de
em relação à base da tubulação na entrada do reservatório — essa informação é dada, mas o que se pede é: determinar a altura (cota) do nível de água no reservatório em relação ao ponto de descarga (ou seja, ).
Informações úteis para usar na resolução: - A água é incompressível e o escoamento é ideal (podemos usar a equação de Bernoulli entre superfície livre do reservatório e a saída).
- Vou converter unidades onde necessário antes de calcular.
Passo 2
Converter unidades e calcular a área da seção da tubulação:
- Converter
para metros: . - Calcular a área da seção circular
usando a fórmula da área de um círculo:
Substituindo
:
Passo 3
Converter a vazão para unidades compatíveis e calcular a velocidade média na tubulação usando a continuidade:
- Converter
: . - A relação de continuidade para escoamento incompressível em seção constante é
onde
é a velocidade média. Substituindo
e
:
Explicando:
é a velocidade média do fluido que atravessa a seção;
é o volume por segundo;
é a área da seção.
Passo 4
Aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a seção de saída (ponto 2), explicando suposições:
- Bernoulli (para escoamento ideal, incompressível, entre duas linhas de corrente estacionárias) é
onde
é pressão,
é densidade do fluido,
é a gravidade,
é velocidade e
é a cota (altura).
- Suposições e simplificações aqui:
- A superfície livre do reservatório está exposta à atmosfera, então
. A saída também está aberta para a atmosfera, então . Assim, os termos de pressão se cancelam. - A superfície do reservatório é grande, logo a velocidade da superfície é desprezível:
. - A velocidade na saída é
calculada no passo anterior.
- A superfície livre do reservatório está exposta à atmosfera, então
- Com essas simplificações a equação fica
Portanto a diferença de cota pedida é
Comentário em palavras: a diferença de nível entre a superfície do reservatório e a saída é igual à “cabeça” cinética necessária para acelerar o fluido até a velocidade
.
Passo 5
Calcular numericamente a diferença de cota usando
e
:
- Usar
e . Então
Calcular passo a passo:
Passo 6
Interpretação final e comentário de checagem:
- O nível do reservatório precisa estar apenas cerca de meio metro acima da saída para fornecer a energia cinética correspondente à vazão dada, porque a tubulação tem diâmetro relativamente grande e a vazão moderada.
- A informação de que a saída está a
em relação à base da tubulação na entrada do reservatório não altera o cálculo da diferença de cota pedida, já que foi solicitado o nível relativo ao ponto de descarga (diferença ) e as pressões nas duas superfícies são atmosféricas.