Um reservatório de grandes dimensões abastece uma tubulação de seção circular que descarrega livremente para a atmosfera em uma saída a jusante. A água (fluido ideal e incompressível) escoa através da tubulação de diâmetro constante de 20 cm , com uma vazão de 100 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. O ponto de saída está a uma altura de 5 m em relação à base da tubulação na entrada do reservatório, onde a pressão é considerada igual à pressão atmosférica. Determine a altura (cota) do nível de água no reservatório em relação ao ponto de descarga dado a aceleração da gravidade (g) igual a 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \cdot(\mathbf{2 , 0} pontos )

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo de forma bem clara):
  • Diâmetro da tubulação: d=20\\ \mathrm{cm}.
  • Vazão volumétrica: Q=100\\ \mathrm{L/s}.
  • A descarga é livre para a atmosfera (pressão na saída igual à pressão atmosférica).
  • No ponto de entrada no reservatório a pressão também é considerada igual à pressão atmosférica.
  • O ponto de saída está a uma altura de 5\\ \mathrm{m} em relação à base da tubulação na entrada do reservatório — essa informação é dada, mas o que se pede é: determinar a altura (cota) do nível de água no reservatório em relação ao ponto de descarga (ou seja, z_{\text{reservatório}}-z_{\text{saída}}óí).
    Informações úteis para usar na resolução:
  • A água é incompressível e o escoamento é ideal (podemos usar a equação de Bernoulli entre superfície livre do reservatório e a saída).
  • Vou converter unidades onde necessário antes de calcular.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção da tubulação:
  • Converter d para metros: d=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a área da seção circular A usando a fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=0,20\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi\,(0,20)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 0,04}{4}=0,01\pi\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Converter a vazão para unidades compatíveis e calcular a velocidade média na tubulação usando a continuidade:
  • Converter Q: Q=100\\ \mathrm{L/s}=0,1\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A relação de continuidade para escoamento incompressível em seção constante é
v=\frac{Q}{A},
onde v é a velocidade média. Substituindo Q e A:
v=\frac{0,1}{0,01\pi}=\frac{10}{\pi}\\ \mathrm{m/s}\approx 3,183\\ \mathrm{m/s}.
Explicando: v é a velocidade média do fluido que atravessa a seção; Q é o volume por segundo; A é a área da seção.

Passo 4

Aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a seção de saída (ponto 2), explicando suposições:
  • Bernoulli (para escoamento ideal, incompressível, entre duas linhas de corrente estacionárias) é
\frac{p_{1}}{\rho g}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}+z_{1}=\frac{p_{2}}{\rho g}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+z_{2},
onde p é pressão, \rho é densidade do fluido, g é a gravidade, v é velocidade e z é a cota (altura).
  • Suposições e simplificações aqui:
    • A superfície livre do reservatório está exposta à atmosfera, então p_{1}=p_{\text{atm}}. A saída também está aberta para a atmosfera, então p_{2}=p_{\text{atm}}. Assim, os termos de pressão se cancelam.
    • A superfície do reservatório é grande, logo a velocidade da superfície é desprezível: v_{1}\approx 0.
    • A velocidade na saída é v_{2}=v calculada no passo anterior.
  • Com essas simplificações a equação fica
z_{1}=z_{2}+\frac{v^{2}}{2g}.
Portanto a diferença de cota pedida é
z_{1}-z_{2}=\frac{v^{2}}{2g}.
Comentário em palavras: a diferença de nível entre a superfície do reservatório e a saída é igual à “cabeça” cinética necessária para acelerar o fluido até a velocidade v.

Passo 5

Calcular numericamente a diferença de cota usando v e g:
  • Usar v=\dfrac{10}{\pi}\\ \mathrm{m/s} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
z_{1}-z_{2}=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{\left(\dfrac{10}{\pi}\right)^{2}}{2\cdot 9,81}.
Calcular passo a passo:
\left(\dfrac{10}{\pi}\right)^{2}=\dfrac{100}{\pi^{2}}\approx 10{,}1320,
2g=2\cdot 9{,}81=19{,}62,
z_{1}-z_{2}\approx \frac{10{,}1320}{19{,}62}\approx 0{,}517\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e comentário de checagem:
  • O nível do reservatório precisa estar apenas cerca de meio metro acima da saída para fornecer a energia cinética correspondente à vazão dada, porque a tubulação tem diâmetro relativamente grande e a vazão moderada.
  • A informação de que a saída está a 5\\ \mathrm{m} em relação à base da tubulação na entrada do reservatório não altera o cálculo da diferença de cota pedida, já que foi solicitado o nível relativo ao ponto de descarga (diferença z_{1}-z_{2}) e as pressões nas duas superfícies são atmosféricas.

Resposta

z_{\text{reservatório}}-z_{\text{saída}}\approx 0,517\\ \mathrm{m}óí

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