P1.13 O Sol encontra-se aproximadamente a uma distância de 25000 anos-luz do centro da galáxia e desloca-se em uma circunferência à velocidade de 300 km / s. Determine a massa aproximada da galaxia, supondo que a força gravitacional exercida sobre o Sol possa ser calculada considerandose que toda a massa galáctica esteja concentrada em seu centro. Exprima o resultado como a razão entre a massa da galaxia e a massa solar. Não é necessário conhecer a constante G ou a massa do Sol para resolver este problema, se você comparar o periodo de revolução do Sol em torno do centro da galaxia com o periodo de revolução da Terra em torno do Sol.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de gravitação e de órbitas:
O enunciado diz que o Sol está a 25 000 anos-luz do centro da galáxia e roda em torno dele a 300 km/s. A ideia é achar a massa total da galáxia (como se todo mundo ficasse concentrado lá no meio) e expressar isso em “vezes a massa do Sol”. Só que a gente não precisa nem saber o valor de G nem a massa do Sol, porque vamos comparar o movimento do Sol na galáxia com o movimento da Terra ao redor do Sol usando a terceira lei de Kepler (que liga período, raio e massa).
Matéria envolvida:
  • Lei da Gravitação de Newton (conceito de força centrípeta)
  • Terceira lei de Kepler: T² ∝ r³/M
O que vamos precisar:
  1. Calcular o período de revolução do Sol (Tₛ) a partir de rₛ e vₛ.
  2. Usar a terceira lei de Kepler para ver que M_gal/M_sol = (rₛ³/Tₛ²)/(rₑ³/Tₑ²).

Passo 2

Calcular o período do Sol na galáxia usando a fórmula do tempo de uma volta circular:
Tₛ = (2π rₛ) / vₛ.
Aqui rₛ = 25 000 anos-luz e vₛ = 300 km/s.
1 ano-luz ≃ 9,46×10¹² km, então
rₛ = 25 000 × 9,46×10¹² km = 2,365×10¹⁷ km.
Daí
Tₛ = 2π × (2,365×10¹⁷ km) / (300 km/s)
= 4,95×10¹⁵ s
Para transformar em anos, dividimos por (3,156×10⁷ s/ano):
Tₛ ≃ 4,95×10¹⁵ / 3,156×10⁷ ≃ 1,57×10⁸ anos.

Passo 3

Aplicar a terceira lei de Kepler estendida (incluindo a massa do corpo central):
T² = (4π²/GM) r³ ⇒ M ∝ r³ / T².
Para comparar a galáxia (subscrito “s”) com o sistema Terra-Sol (“e”), fazemos:
M_gal / M_sol = (rₛ³ / Tₛ²) ÷ (rₑ³ / Tₑ²)
= (rₛ / rₑ)³ · (Tₑ / Tₛ)².
Sabemos:
rₑ = 1 UA (≈1,50×10⁸ km) – mas basta usar rₑ = 1 UA
Tₑ = 1 ano

Passo 4

Calcular as razões numéricas:
  1. rₛ / rₑ = (25 000 ly) / (1 UA)
    Como 1 ly ≃ 63 240 UA,
    rₛ / rₑ = 25 000 × 63 240 ≃ 1,58×10⁹.
  2. Tₑ / Tₛ = 1 ano / (1,57×10⁸ anos) = 6,37×10⁻⁹.
Logo
M_gal / M_sol = (1,58×10⁹)³ · (6,37×10⁻⁹)²
= (3,95×10²⁷) · (4,06×10⁻¹⁷)
≃ 1,6×10¹¹.

Resposta

A massa da galáxia é cerca de 1,6×10¹¹ vezes a massa do Sol.

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