2.13- Três placas planas, paralelas e infinitas, separadas pelas distâncias hl e h2, possuem entre elas óleos newtonianos de viscosidade
, respectivamente. A placa A move-se com uma velocidade constante
e a placa C com velocidade
constante (
). A placa B , inicialmente em repouso, começa a deslocar-se para a direita. Calcular a velocidade
de regime, isto é, a velocidade
constante, após o equilíbrio do sistema.
Qual a relação entre
e
para que a placa
não se mova? Considere em ambos os casos um perfil de velocidade linear em ambos os filmes de óleo.
constante (
Qual a relação entre
Passo 1
O enunciado descreve três placas paralelas e infinitas (A no topo, B no meio e C embaixo) separadas por dois filmes de óleo newtoniano de viscosidades
(entre A e B) e
(entre B e C), com espessuras
e
, respectivamente. A placa A desliza para a direita com velocidade constante
e a placa C também para a direita com
(sendo
). A placa B, inicialmente em repouso, atinge uma velocidade de regime
. Vamos usar o perfil de velocidade linear em cada filme (fluxo de Couette) e o equilíbrio de forças (torques) na placa B para encontrar
.
Passo 2
Definimos um eixo vertical
com origem em B, positivo para cima. Assim:
No regime permanente, em cada filme a velocidade varia linearmente de uma placa à outra, e a tensão de cisalhamento é constante.
Passo 3
No filme de cima (fluido 1), o perfil linear é
logo a taxa de deformação é
e a tensão de cisalhamento no plano de B (de cima para baixo) é
Passo 4
No filme de baixo (fluido 2), o perfil entre B e C é
para
. Assim
e a tensão de cisalhamento no plano de B (de baixo para cima) é
Passo 5
Na situação de regime estacionário, a placa B não acelera, então as forças de cisalhamento vindas de cima e de baixo se equilibram em módulo:
Substituindo os valores:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, obtemos
Passo 6
Isolando
, encontramos a velocidade de regime da placa B:
Passo 7
Para que a placa B fique estacionária
, basta zerar o numerador:
Resposta
Para
é necessário
.