2.13- Três placas planas, paralelas e infinitas, separadas pelas distâncias hl e h2, possuem entre elas óleos newtonianos de viscosidade \mu \mathrm{le} \mu 2, respectivamente. A placa A move-se com uma velocidade constante \mathrm{V}_{\mathrm{A}} e a placa C com velocidade
constante ( \mathrm{V}_{\mathrm{C}}<\mathrm{V}_{\mathrm{A}} ). A placa B , inicialmente em repouso, começa a deslocar-se para a direita. Calcular a velocidade V_{B} de regime, isto é, a velocidade V_{B} constante, após o equilíbrio do sistema.
Qual a relação entre V_{A} e V_{C} para que a placa B não se mova? Considere em ambos os casos um perfil de velocidade linear em ambos os filmes de óleo.

Passo 1

O enunciado descreve três placas paralelas e infinitas (A no topo, B no meio e C embaixo) separadas por dois filmes de óleo newtoniano de viscosidades \mu_1 (entre A e B) e \mu_2 (entre B e C), com espessuras h_1 e h_2, respectivamente. A placa A desliza para a direita com velocidade constante V_A e a placa C também para a direita com V_C (sendo V_C < V_A). A placa B, inicialmente em repouso, atinge uma velocidade de regime V_B. Vamos usar o perfil de velocidade linear em cada filme (fluxo de Couette) e o equilíbrio de forças (torques) na placa B para encontrar V_B.

Passo 2

Definimos um eixo vertical y com origem em B, positivo para cima. Assim:
y = 0 \quad\text{em B,} \quad y = h_1 \quad\text{em A,} \quad y = -\,h_2 \quad\text{em C.}
No regime permanente, em cada filme a velocidade varia linearmente de uma placa à outra, e a tensão de cisalhamento é constante.

Passo 3

No filme de cima (fluido 1), o perfil linear é
u_1(y) = V_B + \frac{V_A - V_B}{h_1}\,y,
logo a taxa de deformação é
\frac{du_1}{dy} = \frac{V_A - V_B}{h_1}
e a tensão de cisalhamento no plano de B (de cima para baixo) é
\tau_1 = \mu_1\,\frac{V_A - V_B}{h_1}.

Passo 4

No filme de baixo (fluido 2), o perfil entre B e C é
u_2(y) = V_B + \frac{V_C - V_B}{-\,h_2}\,y
para -h_2 \le y \le 0. Assim
\frac{du_2}{dy} = \frac{V_C - V_B}{-\,h_2} = \frac{V_B - V_C}{h_2}
e a tensão de cisalhamento no plano de B (de baixo para cima) é
\tau_2 = \mu_2\,\frac{V_B - V_C}{h_2}.

Passo 5

Na situação de regime estacionário, a placa B não acelera, então as forças de cisalhamento vindas de cima e de baixo se equilibram em módulo:
\tau_1 = \tau_2.
Substituindo os valores:
\mu_1\,\frac{V_A - V_B}{h_1} \;=\; \mu_2\,\frac{V_B - V_C}{h_2}.
Multiplicando ambos os lados por h_1h_2 e rearranjando, obtemos
\mu_1\,h_2\,(V_A - V_B) = \mu_2\,h_1\,(V_B - V_C)
\mu_1\,h_2\,V_A - \mu_1\,h_2\,V_B = \mu_2\,h_1\,V_B - \mu_2\,h_1\,V_C
\mu_1\,h_2\,V_A + \mu_2\,h_1\,V_C = (\mu_1\,h_2 + \mu_2\,h_1)\,V_B.

Passo 6

Isolando V_B, encontramos a velocidade de regime da placa B:
V_B = \frac{\mu_1\,h_2\,V_A + \mu_2\,h_1\,V_C}{\mu_1\,h_2 + \mu_2\,h_1}.

Passo 7

Para que a placa B fique estacionária V_B=0, basta zerar o numerador:
\mu_1\,h_2\,V_A + \mu_2\,h_1\,V_C = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_A = -\,\frac{\mu_2\,h_1}{\mu_1\,h_2}\;V_C.

Resposta

V_B = \displaystyle \frac{\mu_1\,h_2\,V_A + \mu_2\,h_1\,V_C}{\mu_1\,h_2 + \mu_2\,h_1}.
Para V_B=0 é necessário V_A = -\,\dfrac{\mu_2\,h_1}{\mu_1\,h_2}\,V_C.

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