2.12- Entre duas placas, paralelas e infinitas existe um filme de óleo Newtoniano de viscosidade \mu e espessura h. A placa superior move-se com uma velocidade constante Va e, uma vez atingido o regime, a placa inferior desloca-se com uma velocidade Vb constante ( \mathrm{Vb}<\mathrm{Va} ) devido a viscosidade do óleo. Supondo um perfil de velocidade linear, determine:
a) a tensão tangencial sobre a placa A .
b) a relação entre a tensão tangencial sobre a placa A e a tensão tangencial sobre a placa B.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de Couette entre duas placas paralelas e infinitas separadas por um filme de óleo Newtoniano de viscosidade \mu e espessura h. A placa superior (A) move-se a velocidade constante V_a e a inferior (B) a V_b (com V_b<V_a), e assume-se perfil de velocidade linear. Para resolver precisamos usar a lei de Newton para fluidos viscosos, que diz que a tensão tangencial é
\tau_{xy} \;=\;\mu\,\frac{du}{dy}.

Passo 2

Como o perfil é linear, tomamos o eixo y perpendicular às placas, com y=0 em B e y=h em A. A velocidade do fluido em y fica
u(y) \;=\; V_b \;+\;\frac{V_a - V_b}{h}\;y.

Passo 3

Derivando u(y) em relação a y obtemos
\frac{du}{dy} \;=\;\frac{V_a - V_b}{h},
que é constante em todo o filme de óleo.

Passo 4

Pela lei de Newton, a tensão tangencial em qualquer plano horizontal é
\tau_{xy} \;=\;\mu\,\frac{V_a - V_b}{h}.
Em particular, na placa A (em y=h) e na placa B (em y=0) essa mesma expressão vale.

Passo 5

Logo a tensão na placa A, \tau_A, e a tensão na placa B, \tau_B, têm a mesma magnitude. Se quisermos comparar:
\tau_A \;=\;\tau_B,
ou em termos de razão,
\frac{\tau_A}{\tau_B}=1.

Resposta

a) \tau_A = \mu\,\dfrac{V_a - V_b}{h}.
b) \tau_A=\tau_B (mesma magnitude, de modo que \tau_A/\tau_B=1).

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