6.130. O garfo é usado como parte do conjunto do trem de pouso de um avião. Se a reação máxima da roda na extremidade do garfo for 4,5 \mathrm{kN}, determine a tensão de flexão máxima na porção curva do garfo na seção a-a. Nesse lugar, a área da seção transversal é circular, com diâmetro de 50 mm .

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (extraídos da figura):
  • Pede: determinar a tensão de flexão máxima na porção curva do garfo, na seção a\!-\!a.
  • Dados extraídos da imagem:
    • Força (reação da roda): F=4{,}5\\ \mathrm{kN}.
    • Diâmetro da seção circular na seção a\!-\!a: d=50\\ \mathrm{mm}.
    • Raio até a porção curva (distância radial indicada): r=250\\ \mathrm{mm}.
    • A seção a\!-\!a está a um ângulo \theta=30^\circ em relação à vertical (conforme figura).
    • A linha de ação da força vertical (roda) está a uma distância horizontal de 150\\ \mathrm{mm} do eixo vertical mostrado na figura.

Passo 2

Estratégia e como obter o momento fletor em a\!-\!a:
  • Método: cortar o corpo na seção a\!-\!a e usar equilíbrio do pedaço externo (o trecho que contém a roda). O momento interno M na seção é o momento da força F em relação ao centro da seção (ou, geometricamente, M=F vezes a distância perpendicular entre a linha de ação de F e o centro da seção).
  • Calcular a coordenada horizontal do centro da seção a\!-\!a: como a seção está a distância radial r e faz ângulo \theta com a vertical, x_{\text{seção}} = r\sin\theta.çãSubstituindo: x_{\text{seção}} = 250\\ \mathrm{mm}\cdot\sin 30^\circ = 250\cdot 0{,}5 = 125\\ \mathrm{mm}.çã
  • A linha de ação da força vertical está em x_{\text{roda}}=150\\ \mathrm{mm}. Logo a distância perpendicular (braço de alavanca) entre a força e o centro da seção é e = x_{\text{roda}}-x_{\text{seção}} = 150\\ \mathrm{mm}-125\\ \mathrm{mm} = 25\\ \mathrm{mm}.çã
(Comentário: essa é apenas a distância horizontal entre a linha de ação da força e o centro da seção — como a força é vertical, essa distância é o braço de momento.)

Passo 3

Calcular o momento fletor na seção:
  • Converter F para newtons: F=4{,}5\\ \mathrm{kN}=4500\\ \mathrm{N}.
  • Usar M=F\cdot e (em unidades N·mm): M = 4500\\ \mathrm{N}\cdot 25\\ \mathrm{mm} = 112\,500\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Em unidades mais usuais: M=112{,}5\\ \mathrm{N\cdot m} (mas manter N·mm facilita as contas com mm do momento de inércia).

Passo 4

Fórmula da tensão de flexão e explicação:
  • Na teoria da flexão simples, a tensão normal por flexão na fibra mais externa é dada por \sigma_{\text{max}}=\frac{M\,c}{I},onde:
    • M é o momento fletor interno na seção (N·mm),
    • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais extrema (para seção circular c=d/2, em mm),
    • I é o momento de inércia da área da seção em relação ao eixo neutro (mm ^4).
  • Essa fórmula vem da hipótese de que as seções permanecem planas e da distribuição linear de deformações (teoria clássica da flexão).

Passo 5

Calcular I para seção circular:
  • Fórmula do momento de inércia para uma seção circular de diâmetro d: I=\frac{\pi d^4}{64}.
  • Substituindo d=50\\ \mathrm{mm}: d^4 = 50^4 = 6\,250\,000\\ \mathrm{mm}^4,
I=\frac{\pi\cdot 6\,250\,000}{64} \approx 306\,796{,}16\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 6

Calcular c, o numerador M c e, finalmente, \sigma_{\text{max}}:
  • c=\dfrac{d}{2}=\dfrac{50\\ \mathrm{mm}}{2}=25\\ \mathrm{mm}.
  • Numerador: M c = 112\,500\\ \mathrm{N\cdot mm}\times 25\\ \mathrm{mm} = 2\,812\,500\\ \mathrm{N\cdot mm^2}.
  • Tensão máxima: \sigma_{\text{max}}=\frac{2\,812\,500}{306\,796{,}16}\\ \mathrm{N/mm^2}\approx 9{,}17\\ \mathrm{N/mm^2}.
  • Em unidades de engenharia: 1\\ \mathrm{N/mm^2}=1\\ \mathrm{MPa}. Portanto \sigma_{\text{max}}\approx 9{,}17\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação e observações rápidas (motivação para a prova):
  • O valor obtido é relativamente baixo porque a seção está mais “para dentro” do braço curvo (o braço de alavanca até a seção é pequeno: só 25\\ \mathrm{mm}).
  • Em prova: identifique sempre a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o centro da seção para achar o momento; depois use \sigma=M c/I com I da seção dada. Não esqueça de manter unidades consistentes (usualmente N e mm ou N·m e m).

Resposta

\;9{,}17\\ \mathrm{MPa}

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