3.131 Uma base de concreto de 5 m de raio suporta quatro colunas separadas igualmente, cada qual localizada a 4 m do centro da base. Determine a intensidade e o ponto de aplicação da resultante das quatro cargas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- A base tem raio
. - Há quatro colunas (quatro cargas pontuais) igualmente espaçadas em torno do centro.
- Cada coluna está localizada a
do centro da base.
- A base tem raio
- Pedido:
- Determinar a intensidade da resultante das quatro cargas.
- Determinar o ponto de aplicação (posição) da resultante.
Observação importante: o enunciado, como foi enviado, NÃO informa as magnitudes nem as direções (por exemplo: vertical) das quatro cargas individuais. Essa informação é necessária para se obter valores numéricos da resultante. Vou prosseguir mostrando passo a passo como se resolve o problema em geral e vou também tratar o caso especial frequentemente usado em exercícios (quatro cargas iguais e verticais).
Passo 2
Definir coordenadas e posições das quatro cargas (modelo geométrico).
- Escolho um sistema de coordenadas cartesianas no plano horizontal com origem no centro da base.
- As quatro cargas estão igualmente espaçadas em um círculo de raio
. Uma disposição natural (ângulos em relação ao eixo ) é: - Carga
em — ângulo . - Carga
em — ângulo . - Carga
em — ângulo . - Carga
em — ângulo .
- Carga
- Notação: cada carga tem magnitude
e (neste modelo) atua verticalmente para baixo (se for o caso típico de colunas). Se as direções forem diferentes, o procedimento vetorial é análogo, somando componentes.
Passo 3
Como achar a intensidade da resultante e o ponto de aplicação (fórmulas e ideia física).
- Intensidade escalar da resultante (quando as cargas são colineares em direção, por exemplo todas verticais): a intensidade é a soma algébrica das magnitudes:
Aqui
é a magnitude da força resultante e
são as magnitudes das cargas individuais (tomadas com sinal apropriado, por exemplo todas positivas se todas atuarem para baixo).
- Ponto de aplicação (posição do eixo de ação da resultante) no plano horizontal: usa-se o equilíbrio de momentos estáticos (momento da resultante em relação à origem = soma dos momentos das forças). Para posições
de cada carga:
onde
são as coordenadas do ponto de aplicação da resultante no plano horizontal. Assim
- Explicação simples do porquê: o momento de uma força em relação à origem é
vezes a alavanca (a coordenada perpendicular). A resultante deve produzir o mesmo momento total, portanto suas coordenadas são as médias ponderadas das coordenadas das forças, ponderadas pelas magnitudes .
Passo 4
Aplicando as fórmulas às posições concretas das quatro cargas (com as coordenadas do Passo 2).
- Coordenadas explicitamente:
-
. -
. -
. -
.
-
- Fórmulas gerais já escritas:
Passo 5
Caso particular muito comum: quatro cargas iguais e todas verticalmente aplicadas (mesma direção e magnitude).
- Se
e todas verticais (por exemplo todas para baixo), então:
- Coordenadas:
- Conclusão do caso: a resultante tem intensidade
e seu ponto de aplicação projeta-se exatamente no centro da base (origem). Isso decorre da simetria: somas ponderadas cancelam-se.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (opcional, para treinar o método).
- Suponha (apenas como exemplo)
. - Intensidade:
- Coordenadas:
- Interpretação: a resultante de
atua no ponto relativo ao centro (ou seja, na direção sudoeste do centro). A distância do centro é .
Passo 7
Resumo do procedimento que use na prova (passo a passo prático, como um check-list rápido).
- Identifique as magnitudes
e as coordenadas de cada carga (aqui as coordenadas são conhecidas: pontos num círculo de raio ). - Calcule
. - Calcule
e . - Se todas as cargas forem iguais, use a simetria: o resultado será no centro e
. - Se for um caso vetorial com direções diferentes, decompõe cada
em componentes e aplica o mesmo procedimento para cada componente.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a intensidade e o ponto de aplicação porque o enunciado não fornece as magnitudes (nem, explicitamente, as direções) das quatro cargas.
Em termos gerais:
Se as quatro cargas forem iguais e verticais, então: