3.131 Uma base de concreto de 5 m de raio suporta quatro colunas separadas igualmente, cada qual localizada a 4 m do centro da base. Determine a intensidade e o ponto de aplicação da resultante das quatro cargas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A base tem raio 5\\ \text{m}.
    • Há quatro colunas (quatro cargas pontuais) igualmente espaçadas em torno do centro.
    • Cada coluna está localizada a 4\\ \text{m} do centro da base.
  • Pedido:
    • Determinar a intensidade da resultante das quatro cargas.
    • Determinar o ponto de aplicação (posição) da resultante.
Observação importante: o enunciado, como foi enviado, NÃO informa as magnitudes nem as direções (por exemplo: vertical) das quatro cargas individuais. Essa informação é necessária para se obter valores numéricos da resultante. Vou prosseguir mostrando passo a passo como se resolve o problema em geral e vou também tratar o caso especial frequentemente usado em exercícios (quatro cargas iguais e verticais).

Passo 2

Definir coordenadas e posições das quatro cargas (modelo geométrico).
  • Escolho um sistema de coordenadas cartesianas no plano horizontal com origem no centro da base.
  • As quatro cargas estão igualmente espaçadas em um círculo de raio 4\\ \text{m}. Uma disposição natural (ângulos em relação ao eixo x) é:
    • Carga P_1 em (4,0) — ângulo 0^\circ.
    • Carga P_2 em (0,4) — ângulo 90^\circ.
    • Carga P_3 em (-4,0) — ângulo 180^\circ.
    • Carga P_4 em (0,-4) — ângulo 270^\circ.
  • Notação: cada carga tem magnitude P_i e (neste modelo) atua verticalmente para baixo (se for o caso típico de colunas). Se as direções forem diferentes, o procedimento vetorial é análogo, somando componentes.

Passo 3

Como achar a intensidade da resultante e o ponto de aplicação (fórmulas e ideia física).
  • Intensidade escalar da resultante (quando as cargas são colineares em direção, por exemplo todas verticais): a intensidade é a soma algébrica das magnitudes:
R=\sum_{i=1}^{4} P_i.
Aqui R é a magnitude da força resultante e P_i são as magnitudes das cargas individuais (tomadas com sinal apropriado, por exemplo todas positivas se todas atuarem para baixo).
  • Ponto de aplicação (posição do eixo de ação da resultante) no plano horizontal: usa-se o equilíbrio de momentos estáticos (momento da resultante em relação à origem = soma dos momentos das forças). Para posições x_i,y_i de cada carga:
R x_R=\sum_{i=1}^{4} P_i x_i, \qquad R y_R=\sum_{i=1}^{4} P_i y_i,
onde (x_R,y_R) são as coordenadas do ponto de aplicação da resultante no plano horizontal. Assim
x_R=\frac{\sum_{i=1}^{4} P_i x_i}{\sum_{i=1}^{4} P_i}, \qquad y_R=\frac{\sum_{i=1}^{4} P_i y_i}{\sum_{i=1}^{4} P_i}.
  • Explicação simples do porquê: o momento de uma força em relação à origem é P_i vezes a alavanca (a coordenada perpendicular). A resultante deve produzir o mesmo momento total, portanto suas coordenadas são as médias ponderadas das coordenadas das forças, ponderadas pelas magnitudes P_i.

Passo 4

Aplicando as fórmulas às posições concretas das quatro cargas (com as coordenadas do Passo 2).
  • Coordenadas explicitamente:
    • x_1=4,\; y_1=0.
    • x_2=0,\; y_2=4.
    • x_3=-4,\; y_3=0.
    • x_4=0,\; y_4=-4.
  • Fórmulas gerais já escritas:
R=\sum_{i=1}^{4} P_i, \quad x_R=\frac{P_1\cdot 4 + P_2\cdot 0 + P_3\cdot(-4) + P_4\cdot 0}{P_1+P_2+P_3+P_4},
y_R=\frac{P_1\cdot 0 + P_2\cdot 4 + P_3\cdot 0 + P_4\cdot(-4)}{P_1+P_2+P_3+P_4}.

Passo 5

Caso particular muito comum: quatro cargas iguais e todas verticalmente aplicadas (mesma direção e magnitude).
  • Se P_1=P_2=P_3=P_4=P e todas verticais (por exemplo todas para baixo), então:
R=4P.
  • Coordenadas:
x_R=\frac{P\cdot 4 + P\cdot 0 + P\cdot(-4) + P\cdot 0}{4P}=0, \qquad y_R=\frac{P\cdot 0 + P\cdot 4 + P\cdot 0 + P\cdot(-4)}{4P}=0.
  • Conclusão do caso: a resultante tem intensidade 4P e seu ponto de aplicação projeta-se exatamente no centro da base (origem). Isso decorre da simetria: somas ponderadas cancelam-se.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (opcional, para treinar o método).
  • Suponha (apenas como exemplo) P_1=10\\ \text{kN},\; P_2=20\\ \text{kN},\; P_3=30\\ \text{kN},\; P_4=40\\ \text{kN}.
  • Intensidade:
R=10+20+30+40=100\\ \text{kN}.
  • Coordenadas:
x_R=\frac{10\cdot 4 + 20\cdot 0 + 30\cdot(-4) + 40\cdot 0}{100}=\frac{40-120}{100}=-\tfrac{80}{100}=-0{,}8\\ \text{m},
y_R=\frac{10\cdot 0 + 20\cdot 4 + 30\cdot 0 + 40\cdot(-4)}{100}=\frac{80-160}{100}=-0{,}8\\ \text{m}.
  • Interpretação: a resultante de 100\\ \text{kN} atua no ponto (-0{,}8,\,-0{,}8) relativo ao centro (ou seja, 0{,}8\\ \text{m} na direção sudoeste do centro). A distância do centro é \sqrt{0{,}8^2+0{,}8^2}\approx 1{,}13\\ \text{m}.

Passo 7

Resumo do procedimento que use na prova (passo a passo prático, como um check-list rápido).
  1. Identifique as magnitudes P_i e as coordenadas (x_i,y_i) de cada carga (aqui as coordenadas são conhecidas: pontos num círculo de raio 4\\ \text{m}).
  2. Calcule R=\sum P_i.
  3. Calcule x_R=\dfrac{\sum P_i x_i}{R} e y_R=\dfrac{\sum P_i y_i}{R}.
  4. Se todas as cargas forem iguais, use a simetria: o resultado será no centro e R=4P.
  5. Se for um caso vetorial com direções diferentes, decompõe cada P_i em componentes e aplica o mesmo procedimento para cada componente.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a intensidade e o ponto de aplicação porque o enunciado não fornece as magnitudes (nem, explicitamente, as direções) das quatro cargas.
Em termos gerais:
R=\sum_{i=1}^{4} P_i,
x_R=\frac{P_1\cdot 4 + P_2\cdot 0 + P_3\cdot(-4) + P_4\cdot 0}{\sum_{i=1}^{4} P_i}, \qquad y_R=\frac{P_1\cdot 0 + P_2\cdot 4 + P_3\cdot 0 + P_4\cdot(-4)}{\sum_{i=1}^{4} P_i}.
Se as quatro cargas forem iguais e verticais, então:
R=4P\quad\text{e}\quad (x_R,y_R)=(0,0).

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