3.98 Uma força de 110 N , atuando em um plano vertical paralelo ao plano y z, é aplicada sobre a alavanca horizontal A B de 220 mm de comprimento de uma chave soquete. Substitua a força por um sistema força–binário equivalente na origem O do sistema de coordenadas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
Uma força de 110\\ \text{N}.
A força atua em um plano vertical paralelo ao plano y z.
A força é aplicada sobre a alavanca horizontal A B de comprimento 220\\ \text{mm}.
Pede-se: substituir a força por um sistema força–binário equivalente na origem O do sistema de coordenadas.
Informações que não estão no enunciado (e que são necessárias para um cálculo numérico único):
A posição exata do ponto de aplicação da força em coordenadas (por exemplo, as coordenadas de B ou de onde a força atua).
A direção precisa da força dentro do plano paralelo a y z (isto é, o ângulo entre a força e os eixos y e z, ou se a força é puramente ao longo de y ou de z).
A posição da origem O em relação à alavanca AB (por exemplo, se O coincide com A, ou outro ponto).
Observação: como não foi enviada figura nem foi especificado se a força atua em B nem sua direção exata no plano y z, não há dados suficientes para determinar numericamente um único sistema força–binário na origem O.
Passo 2
O que significa substituir uma força por um sistema força–binário equivalente em O.
Conceito: um sistema força–binário (ou força + momento) equivalente a uma força concentrada aplicada em um ponto é um par formado pela mesma força aplicada em O (mantendo a mesma intensidade e a mesma direção) mais um momento (binário) \mathbf{M}_O em O que compensa o fato de a força original não atuar em O. Esse sistema produz o mesmo efeito sobre um corpo rígido que a força original.
Fórmulas básicas:
A força equivalente em O tem o mesmo vetor força \mathbf{F} (mesma intensidade e direção).
O momento em O é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição do ponto de aplicação relativo a O (chamado \mathbf{r}) e a força:\mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Unidades: \mathbf{F} em newtons (\text{N}), \mathbf{r} em metros (\text{m}), \mathbf{M}_O em newton-metro (\text{N}\cdot\text{m}).
Passo 3
Como escrever os vetores (representação e interpretação de cada componente).
Como a força está em um plano paralelo a y z, a componente x da força é zero. Podemos escrever, em componentes,
\mathbf{F}=(0,\;F_y,\;F_z),
com \sqrt{F_y^2+F_z^2}=110\\ \text{N}. Aqui:
F_y é a componente da força ao longo do eixo y,
F_z é a componente da força ao longo do eixo z.
O vetor posição do ponto de aplicação relativamente à origem O é
\mathbf{r}=(x,\;y,\;z),
onde x,y,z são as coordenadas do ponto de aplicação (em metros). No caso de uma alavanca horizontal AB costuma-se ter variação em x predominante; por exemplo, se a alavanca está sobre o eixo x e A coincide com O, então para o ponto B teríamos \mathbf{r}=(0{,}220,\;0,\;0)\\ \text{m} (convertendo 220\\ \text{mm}=0{,}220\\ \text{m}). Mas isto é uma hipótese que deve ser afirmada quando usada.
Passo 4
Cálculo simbólico do momento \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F} (passo a passo do cálculo vetorial).
Usando a regra do determinante para o produto vetorial:
\mathbf{M}_O=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ x & y & z \\\\ 0 & F_y & F_z \end{vmatrix}
Desenvolvendo o determinante obtemos, componente a componente,
Isto é universal: para qualquer posição (x,y,z) do ponto de aplicação e para qualquer componentes F_y,F_z da força no plano paralelo a y z, estas fórmulas dão o momento em O.
Passo 5
Conversão de unidades e observações práticas para fazer na prova (sem calculadora).
Converter comprimento de milímetros para metros: 220\\ \text{mm}=0{,}220\\ \text{m}.
Sempre manter \mathbf{r} em metros quando multiplicar por força em newtons, para obter momento em \text{N}\cdot\text{m}.
Se na figura a força estiver descrita apenas como “vertical” e o plano é paralelo a y z, muitas vezes isso significa que a força é puramente em z (isto é, F_y=0 e F_z=\pm110\\ \text{N}). Mas confirme sempre com a figura ou com o enunciado qual é a direção (para cima ou para baixo) porque o sinal do momento muda.
Passo 6
Exemplo numérico típico (hipótese explícita) — mostra como proceder se na prova os dados forem os mais comuns.
Hipótese típica: a alavanca AB está alinhada com o eixo x, a origem O coincide com A, a força é aplicada em B e é puramente vertical (no eixo -z, ou seja, para baixo). Então:
Ponto de aplicação B: \mathbf{r}=(0{,}220,\;0,\;0)\\ \text{m}.
Resultado dessa hipótese: o sistema equivalente em O é a força \mathbf{F}=(0,0,-110)\\ \text{N} aplicada em O mais o binário \mathbf{M}_O=(0,24{,}2,0)\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Atenção: esse número só vale sob as hipóteses explicitadas (origem em A, força puramente em -z, aplicação em B). Se qualquer hipótese mudar, o valor do momento muda.
Passo 7
Conclusão principal e instrução para a prova.
Conclusão: para resolver o problema e dar o sistema força–binário equivalente numericamente na origem O é obrigatório conhecer:
as coordenadas do ponto de aplicação da força (ou a posição de A, B e de O); e
a direção da força dentro do plano paralelo a y z (componentes F_y e F_z, ou um ângulo que determine essas componentes).
Na ausência desses dados (figura ou informações explícitas), não é possível fornecer um único valor numérico para o binário em O. O procedimento para a prova é:
identificar \mathbf{r} (em metros) e \mathbf{F}=(0,F_y,F_z) (em newtons);
calcular \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F} usando as fórmulas do Passo 4;
apresentar o sistema \{\mathbf{F}\\ \text{em}\\ O,\\ \mathbf{M}_O\}.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o sistema força–binário equivalente na origem O por falta de informações sobre a posição do ponto de aplicação da força (coordenadas) e sobre a direção exata da força no plano paralelo a y z.