131 Determinar os valores de m que tornam as matrizes:
A=\left(\begin{array}{cc} m-1 & -2 \\\\ 1 & m-4 \end{array}\right) \quad e \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\\ m-1 & 1 & m-2 \\\ m+1 & m-1 & 2 \end{array}\right)
singulares.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes que dependem do parâmetro m:
A=\begin{pmatrix} m-1 & -2\\[2pt] 1 & m-4 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[2pt] m-1 & 1 & m-2\\[2pt] m+1 & m-1 & 2 \end{pmatrix}.
A pergunta é: determinar os valores de m que tornam cada uma dessas matrizes singulares.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • Os elementos de A são a_{11}=m-1, a_{12}=-2, a_{21}=1, a_{22}=m-4.
  • Os elementos de B são os indicados na matriz acima.
  • Precisa-se encontrar todos os m tais que cada matriz seja singular.]

Passo 2

O que significa matriz singular?
Uma matriz quadrada é singular quando o seu determinante é zero. Então devemos calcular \det(A) e \det(B) e resolver as equações \det(A)=0 e \det(B)=0.
Vou começar por A. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b\\[2pt] c & d \end{pmatrix}
o determinante é dado por \det=\;ad-bc. Aqui a=m-1, b=-2, c=1, d=m-4. Portanto:
\det(A)=(m-1)(m-4)-(-2)\cdot 1.
Agora calculo e simplifico passo a passo:
\det(A)=(m-1)(m-4)+2.
Expando o produto (m-1)(m-4):
(m-1)(m-4)=m^2-4m-m+4=m^2-5m+4.
Somando +2:
\det(A)=m^2-5m+4+2=m^2-5m+6.
Para A ser singular preciso resolver
m^2-5m+6=0.
Esta é uma equação quadrática. Procuro dois números que multiplicam para 6 e somam para -5. Esses números são -2 e -3. Logo fatorando:
m^2-5m+6=(m-2)(m-3).
Portanto as soluções são
m=2\quad\text{ou}\quad m=3.]

Passo 3

Agora trato de B. Para uma matriz 3\times3 eu uso a regra de Sarrus (método prático): repetir as duas primeiras colunas à direita e somar os produtos das três diagonais descendentes e subtrair os produtos das três diagonais ascendentes. Escrevendo os elementos de B:
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[2pt] m-1 & 1 & m-2\\[2pt] m+1 & m-1 & 2 \end{pmatrix}.
Pelas diagonais descendentes (soma positiva) tenho:
1\cdot 1\cdot 2,\qquad 1\cdot (m-2)\cdot (m+1),\qquad 2\cdot (m-1)\cdot (m-1).
Pelas diagonais ascendentes (soma negativa) tenho:
2\cdot 1\cdot (m+1),\qquad 1\cdot (m-1)\cdot 2,\qquad (m-2)\cdot (m-1)\cdot 1.
Portanto, colocando tudo na expressão do determinante:
\det(B)=\bigl[1\cdot 1\cdot 2 + 1\cdot(m-2)(m+1) + 2\cdot (m-1)^2\bigr] -\bigl[2\cdot 1\cdot (m+1) + 1\cdot (m-1)\cdot 2 + (m-2)(m-1)\cdot 1\bigr].
Agora vou expandir e simplificar cada soma com calma.
Soma positiva:
1\cdot 1\cdot 2 = 2,
1\cdot (m-2)(m+1) = (m-2)(m+1)=m^2-m-2,
2\cdot (m-1)^2 = 2(m^2-2m+1)=2m^2-4m+2.
Somando essas três:
2 + (m^2-m-2) + (2m^2-4m+2) = 3m^2-5m+2.
Soma negativa:
2\cdot 1\cdot (m+1)=2(m+1)=2m+2,
1\cdot (m-1)\cdot 2 = 2(m-1)=2m-2,
(m-2)(m-1)=m^2-3m+2.
Somando essas três:
(2m+2)+(2m-2)+(m^2-3m+2)=m^2+m+2.
Subtraindo soma negativa da positiva:
\det(B)=(3m^2-5m+2)-(m^2+m+2)=2m^2-6m.
Fatorando:
\det(B)=2m(m-3).
Para B ser singular, \det(B)=0, logo
2m(m-3)=0.
As soluções são
m=0\quad\text{ou}\quad m=3.]

Passo 4

Observação útil (motivacional): deu para ver que m=3 é um valor que torna tanto A quanto B singulares (ou seja, é comum às duas matrizes). Está tudo certo — você já tem as equações dos determinantes, fatorou e resolveu de forma direta. Força que isso aparece muito em prova: pedir onde o determinante se anula.

Resposta

A: m=2 ou m=3
B: m=0 ou m=3

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