A pergunta é: determinar os valores de m que tornam cada uma dessas matrizes singulares.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Os elementos de A são a_{11}=m-1, a_{12}=-2, a_{21}=1, a_{22}=m-4.
Os elementos de B são os indicados na matriz acima.
Precisa-se encontrar todos os m tais que cada matriz seja singular.]
Passo 2
O que significa matriz singular?
Uma matriz quadrada é singular quando o seu determinante é zero. Então devemos calcular \det(A) e \det(B) e resolver as equações \det(A)=0 e \det(B)=0.
Vou começar por A. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b\\[2pt] c & d \end{pmatrix}
o determinante é dado por \det=\;ad-bc. Aqui a=m-1, b=-2, c=1, d=m-4. Portanto:
\det(A)=(m-1)(m-4)-(-2)\cdot 1.
Agora calculo e simplifico passo a passo:
\det(A)=(m-1)(m-4)+2.
Expando o produto (m-1)(m-4):
(m-1)(m-4)=m^2-4m-m+4=m^2-5m+4.
Somando +2:
\det(A)=m^2-5m+4+2=m^2-5m+6.
Para A ser singular preciso resolver
m^2-5m+6=0.
Esta é uma equação quadrática. Procuro dois números que multiplicam para 6 e somam para -5. Esses números são -2 e -3. Logo fatorando:
m^2-5m+6=(m-2)(m-3).
Portanto as soluções são
m=2\quad\text{ou}\quad m=3.]
Passo 3
Agora trato de B. Para uma matriz 3\times3 eu uso a regra de Sarrus (método prático): repetir as duas primeiras colunas à direita e somar os produtos das três diagonais descendentes e subtrair os produtos das três diagonais ascendentes. Escrevendo os elementos de B:
Agora vou expandir e simplificar cada soma com calma.
Soma positiva:
1\cdot 1\cdot 2 = 2,
1\cdot (m-2)(m+1) = (m-2)(m+1)=m^2-m-2,
2\cdot (m-1)^2 = 2(m^2-2m+1)=2m^2-4m+2.
Somando essas três:
2 + (m^2-m-2) + (2m^2-4m+2) = 3m^2-5m+2.
Soma negativa:
2\cdot 1\cdot (m+1)=2(m+1)=2m+2,
1\cdot (m-1)\cdot 2 = 2(m-1)=2m-2,
(m-2)(m-1)=m^2-3m+2.
Somando essas três:
(2m+2)+(2m-2)+(m^2-3m+2)=m^2+m+2.
Subtraindo soma negativa da positiva:
\det(B)=(3m^2-5m+2)-(m^2+m+2)=2m^2-6m.
Fatorando:
\det(B)=2m(m-3).
Para B ser singular, \det(B)=0, logo
2m(m-3)=0.
As soluções são
m=0\quad\text{ou}\quad m=3.]
Passo 4
Observação útil (motivacional): deu para ver que m=3 é um valor que torna tanto A quanto B singulares (ou seja, é comum às duas matrizes). Está tudo certo — você já tem as equações dos determinantes, fatorou e resolveu de forma direta. Força que isso aparece muito em prova: pedir onde o determinante se anula.