A=\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 2 & x & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) .
Determinar os valores de x para que a matriz A seja não singular.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} x & 1 & 2\\[4pt] 2 & x & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e pede: determinar os valores de x para que a matriz A seja não singular.
Informações relevantes:
A matriz A depende do parâmetro x.
“Não singular” significa que a matriz é invertível (ou seja, seu determinante é diferente de zero).
Então precisamos achar os valores de x tais que \det(A)\neq0.]
Passo 2
Breve aula sobre o que vamos usar (determinante e singularidade).
Para uma matriz quadrada 3\times3, a matriz é singular se, e somente se, o seu determinante é zero.
Logo, para saber quando A é não singular basta calcular \det(A) como função de x e exigir \det(A)\neq0.
Há várias formas de calcular o determinante de uma 3\times3: regra de Sarrus, expansão por cofatores (Laplace) ou operações elementares. Aqui a expansão por cofatores na terceira linha é conveniente porque a entrada a_{31}=0 simplifica os cálculos.
Passo 3
Expansão por cofatores ao longo da terceira linha (linha 3 tem entradas 0,1,2).
Recordando: ao expandir pela linha 3, cada termo é a_{3j} vezes o cofator C_{3j}, onde C_{3j}=(-1)^{3+j} vezes o determinante do menor obtido removendo a linha 3 e a coluna j.