1.30 Considere a matriz:
A=\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 2 \\\\ 2 & x & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) .
Determinar os valores de x para que a matriz A seja não singular.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} x & 1 & 2\\[4pt] 2 & x & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e pede: determinar os valores de x para que a matriz A seja não singular.
Informações relevantes:
  • A matriz A depende do parâmetro x.
  • “Não singular” significa que a matriz é invertível (ou seja, seu determinante é diferente de zero).
  • Então precisamos achar os valores de x tais que \det(A)\neq0.]

Passo 2

Breve aula sobre o que vamos usar (determinante e singularidade).
  • Para uma matriz quadrada 3\times3, a matriz é singular se, e somente se, o seu determinante é zero.
  • Logo, para saber quando A é não singular basta calcular \det(A) como função de x e exigir \det(A)\neq0.
  • Há várias formas de calcular o determinante de uma 3\times3: regra de Sarrus, expansão por cofatores (Laplace) ou operações elementares. Aqui a expansão por cofatores na terceira linha é conveniente porque a entrada a_{31}=0 simplifica os cálculos.

Passo 3

Expansão por cofatores ao longo da terceira linha (linha 3 tem entradas 0,1,2).
  • Recordando: ao expandir pela linha 3, cada termo é a_{3j} vezes o cofator C_{3j}, onde C_{3j}=(-1)^{3+j} vezes o determinante do menor obtido removendo a linha 3 e a coluna j.
  • Escrevendo a expansão:
\det(A)=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}.
Substituindo a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=2 temos:
\det(A)=0\cdot C_{31}+1\cdot C_{32}+2\cdot C_{33}.

Passo 4

Calcular os cofatores C_{32} e C_{33}.
  • Para C_{32}: o sinal é (-1)^{3+2}=(-1)^5=-1. O menor (removendo linha 3 e coluna 2) é
\begin{pmatrix} x & 2\\[4pt] 2 & 2 \end{pmatrix},
cujo determinante é x\cdot 2 - 2\cdot 2 = 2x-4. Assim
C_{32} = -1\cdot(2x-4) = -2x+4.
  • Para C_{33}: o sinal é (-1)^{3+3}=(-1)^6=+1. O menor (removendo linha 3 e coluna 3) é
\begin{pmatrix} x & 1\\[4pt] 2 & x \end{pmatrix},
cujo determinante é x\cdot x - 2\cdot 1 = x^2-2. Assim
C_{33}=+1\cdot(x^2-2)=x^2-2.
Agora substituímos na expansão:
\det(A)=1\cdot(-2x+4)+2\cdot(x^2-2).]

Passo 5

Fazer a álgebra para simplificar o determinante e encontrar os zeros.
Calcule termo a termo:
\det(A)=(-2x+4)+(2x^2-4).
Somando os termos semelhantes:
\det(A)=2x^2-2x+0 = 2x^2-2x.
Fatorando:
\det(A)=2x(x-1).
Portanto \det(A)=0 exatamente quando x=0 ou x=1.

Passo 6

Conclusão final sobre não singularidade:
  • A matriz A é singular quando \det(A)=0, ou seja para x=0 e x=1.
  • Logo A é não singular para todos os valores de x distintos de 0 e 1.

Resposta

\;x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}

Exercícios relacionados