136 - Um canal reto e retangular tem 1,8 \mathrm{~m} de largura e 0,9 \mathrm{~m} de profundidade e está com uma declividade correspondente a um ângulo de 2^{\mathrm{o}}. O fator de atrito é 0,022 . Estime a vazão para escoamento uniforme \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}.
137 - Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade de 0,006 . Qual é a melhor largura de fundo para uma vazão de 2,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
Para o problema 136:
  • O enunciado pede a vazão em escoamento uniforme (em \mathrm{m^3/s}).
  • Dados fornecidos:
    • Largura do fundo: \;b = 1{,}8\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade da água: \;y = 0{,}9\\ \mathrm{m}.
    • Declividade dada por um ângulo: \;\theta = 2^\circ.
    • Fator de atrito: \;n = 0{,}022. (O enunciado chama de “fator de atrito”: adotarei a interpretação usual em hidráulica de canais abertos e tratarei esse valor como o coeficiente de Manning n.)
Para o problema 137:
  • O enunciado diz que o canal retangular mais eficiente ocorre quando a profundidade é metade da largura do fundo: \;y = b/2.
  • Canal de alvenaria com declividade \;S = 0{,}006.
  • Deseja-se a melhor largura de fundo \;b para que a vazão seja \;Q = 2{,}7\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O enunciado não dá explicitamente o coeficiente de atrito n para alvenaria. Vou assumir o valor típico de Manning para alvenaria: \;n = 0{,}015. Vou justificar e explicitar essa escolha ao usar a fórmula.

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (aula rápida e essencial):
Em escoamento uniforme em canais abertos, uma fórmula muito usada é a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P}, onde P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia / do leito (adimensional), que para um leito inclinado de ângulo \theta em relação à horizontal pode ser obtida por \;S=\tan\theta (ou, para ângulos pequenos, \sin\theta dá praticamente o mesmo valor).
Explicando cada termo:
  • Área molhada A para canal retangular: A = b\,y.
  • Perímetro molhado P para retângulo: P = b + 2y.
  • Raio hidráulico R = A/P. Esse raio traduz quão “eficiente” a seção é em transportar vazão em função da resistência da parede molhada.
Vamos aplicar isso aos dois problemas.

Passo 3

Resolução do problema 136 — calcular Q com os dados fornecidos.
  1. Calcular a declividade S. Como o enunciado deu o ângulo \theta=2^\circ, uso
S=\tan(2^\circ).
Calcule:
\tan(2^\circ)\approx 0{,}03492.
  1. Calcular A, P e R para o retângulo com b=1{,}8\\ \mathrm{m} e y=0{,}9\\ \mathrm{m}.
A = b\,y = 1{,}8\cdot 0{,}9 = 1{,}62\\ \mathrm{m^2}.
P = b + 2y = 1{,}8 + 2\cdot 0{,}9 = 3{,}6\\ \mathrm{m}.
R = \frac{A}{P} = \frac{1{,}62}{3{,}6} = 0{,}45\\ \mathrm{m}.
  1. Aplicar a fórmula de Manning com n=0{,}022:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Calcule passo a passo:
  • R^{2/3} = 0{,}45^{2/3}. Para computar sem calculadora sofisticada, pode-se fazer: \ln(0{,}45) \approx -0{,}7985, multiplicar por 2/3 e exp; numericamente fica R^{2/3}\approx 0{,}5877.
  • S^{1/2} = \sqrt{0{,}03492}\approx 0{,}1869.
  • Agora:
Q \approx \frac{1}{0{,}022}\cdot 1{,}62 \cdot 0{,}5877 \cdot 0{,}1869.
Calcule em partes:
\frac{1}{0{,}022}\approx 45{,}4545,
1{,}62\cdot 0{,}5877 \approx 0{,}9523,
0{,}9523\cdot 0{,}1869 \approx 0{,}1780,
Q \approx 45{,}4545\cdot 0{,}1780 \approx 8{,}09\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando com razoável precisão: \;Q \approx 8{,}07\\ \mathrm{m^3/s} (diferenças muito pequenas aparecem dependendo de arredondamentos intermediários). Vou apresentar 8{,}07\\ \mathrm{m^3/s}.
Comentário rápido e motivador: deu uma vazão da ordem de alguns metros cúbicos por segundo — razoável para um canal desse porte e essa inclinação, lembrando que se tivéssemos interpretado o “fator de atrito” como outro coeficiente (por ex. fator de Darcy-Weisbach) o procedimento seria diferente; aqui a interpretação como Manning n é a mais comum em problemas de canais abertos.

Passo 4

Resolução do problema 137 — encontrar a melhor largura b quando y=b/2, para Q=2{,}7\\ \mathrm{m^3/s}, S=0{,}006 e n=0{,}015 (assumido para alvenaria).
  1. Primeiro escrever A, P e R em função de b sabendo que y=b/2.
A = b\,y = b\cdot\frac{b}{2} = \frac{b^2}{2}.
P = b + 2y = b + 2\cdot\frac{b}{2} = b + b = 2b.
R = \frac{A}{P} = \frac{b^2/2}{2b} = \frac{b}{4}.
Observe que isso simplifica a expressão e é a razão pela qual y=b/2 é frequentemente chamado de configuração ótima para retângulos (boa eficiência hidráulica).
  1. Substituir na fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} =\frac{1}{n}\cdot\frac{b^2}{2}\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2/3}\cdot S^{1/2}.
  1. Simplificar a dependência em b. Agrupando os fatores de b:
\frac{b^2}{2}\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2/3} = \frac{1}{2\cdot 4^{2/3}} \, b^{2 + 2/3} = \frac{1}{2\cdot 4^{2/3}} \, b^{8/3}.
Logo
Q = \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{2\cdot 4^{2/3}}\, b^{8/3}\, S^{1/2}.
  1. Isolar b:
b^{8/3} = Q\, n \, 2 \, 4^{2/3}\, S^{-1/2},
b = \left( Q\, n \, 2 \, 4^{2/3}\, S^{-1/2} \right)^{3/8}.
  1. Agora inserir os valores numéricos: Q=2{,}7, n=0{,}015, S=0{,}006. Note que 4^{2/3} \approx 2{,}51984 (porque 4^{1/3}\approx 1{,}5874 e elevando ao quadrado dá cerca de 2{,}51984).
Calcule em etapas:
  • Produto Q\,n\,2\,4^{2/3} = 2{,}7\cdot 0{,}015 \cdot 2 \cdot 2{,}51984. 2{,}7\cdot 0{,}015 = 0{,}0405,
0{,}0405\cdot 2 = 0{,}081,
0{,}081 \cdot 2{,}51984 \approx 0{,}2041.
  • S^{-1/2} = 1/\sqrt{0{,}006} \approx 1 / 0{,}0774597 \approx 12{,}903.
  • Assim, Q\,n\,2\,4^{2/3}\,S^{-1/2}\approx 0{,}2041\cdot 12{,}903 \approx 2{,}635.
  • Finalmente b = (2{,}635)^{3/8}.
Calcule a potência: 3/8 = 0{,}375. Tomando log ou usando aproximação numérica resulta
b \approx 1{,}44\\ \mathrm{m}.
  1. A profundidade correspondente é y=b/2\approx 0{,}72\\ \mathrm{m}.
Comentário sobre a escolha de n: adotei n=0{,}015 porque é um valor típico usado para alvenaria/muros de canal em problemas clássicos; se o enunciado usar outro valor (por ex. 0{,}013 ou 0{,}02) o b resultante mudará, mas o procedimento algébrico é o mesmo.

Passo 5

Verificação rápida (opcional mas didática): testar com b=1{,}44\\ \mathrm{m} e y=0{,}72\\ \mathrm{m} os termos A, R, e checar se Q fica próximo de 2{,}7\\ \mathrm{m^3/s}.
  • A = b\,y \approx 1{,}44\cdot 0{,}72 = 1{,}0368\\ \mathrm{m^2}.
  • P = b + 2y = 1{,}44 + 1{,}44 = 2{,}88\\ \mathrm{m}.
  • R = A/P \approx 1{,}0368/2{,}88 \approx 0{,}360\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx 0{,}360^{2/3}\approx 0{,}502.
  • S^{1/2}=\sqrt{0{,}006}\approx 0{,}07746.
  • Q \approx \frac{1}{0{,}015}\cdot 1{,}0368\cdot 0{,}502\cdot 0{,}07746 \approx 66{,}6667\cdot 0{,}0403 \approx 2{,}69\\ \mathrm{m^3/s}.
Resultado aproximado 2{,}69\\ \mathrm{m^3/s}, muito próximo do desejado 2{,}7\\ \mathrm{m^3/s} (diferenças por arredondamento), o que confirma a coerência do cálculo.

Resposta

\text{(136) }Q \approx 8{,}07\\ \mathrm{m^3/s}\n
\text{(137) }b \approx 1{,}44\\ \mathrm{m}

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