136 - Um canal reto e retangular tem
de largura e
de profundidade e está com uma declividade correspondente a um ângulo de
. O fator de atrito é 0,022 . Estime a vazão para escoamento uniforme
.
137 - Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade de 0,006 . Qual é a melhor largura de fundo para uma vazão de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
Para o problema 136:
- O enunciado pede a vazão em escoamento uniforme (em
). - Dados fornecidos:
- Largura do fundo:
. - Profundidade da água:
. - Declividade dada por um ângulo:
. - Fator de atrito:
. (O enunciado chama de “fator de atrito”: adotarei a interpretação usual em hidráulica de canais abertos e tratarei esse valor como o coeficiente de Manning .)
- Largura do fundo:
Para o problema 137:
- O enunciado diz que o canal retangular mais eficiente ocorre quando a profundidade é metade da largura do fundo:
. - Canal de alvenaria com declividade
. - Deseja-se a melhor largura de fundo
para que a vazão seja . - O enunciado não dá explicitamente o coeficiente de atrito
para alvenaria. Vou assumir o valor típico de Manning para alvenaria: . Vou justificar e explicitar essa escolha ao usar a fórmula.
Passo 2
Relembrando a fórmula que vamos usar (aula rápida e essencial):
Em escoamento uniforme em canais abertos, uma fórmula muito usada é a fórmula de Manning:
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área da seção molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por , onde é o perímetro molhado ( ); -
é a declividade da linha de energia / do leito (adimensional), que para um leito inclinado de ângulo em relação à horizontal pode ser obtida por (ou, para ângulos pequenos, dá praticamente o mesmo valor).
Explicando cada termo:
- Área molhada
para canal retangular: . - Perímetro molhado
para retângulo: . - Raio hidráulico
. Esse raio traduz quão “eficiente” a seção é em transportar vazão em função da resistência da parede molhada.
Vamos aplicar isso aos dois problemas.
Passo 3
Resolução do problema 136 — calcular
com os dados fornecidos.
- Calcular a declividade
. Como o enunciado deu o ângulo , uso
Calcule:
- Calcular
, e para o retângulo com e .
- Aplicar a fórmula de Manning com
:
Calcule passo a passo:
-
. Para computar sem calculadora sofisticada, pode-se fazer: , multiplicar por e exp; numericamente fica . -
. - Agora:
Calcule em partes:
Arredondando com razoável precisão:
(diferenças muito pequenas aparecem dependendo de arredondamentos intermediários). Vou apresentar
.
Comentário rápido e motivador: deu uma vazão da ordem de alguns metros cúbicos por segundo — razoável para um canal desse porte e essa inclinação, lembrando que se tivéssemos interpretado o “fator de atrito” como outro coeficiente (por ex. fator de Darcy-Weisbach) o procedimento seria diferente; aqui a interpretação como Manning
é a mais comum em problemas de canais abertos.
Passo 4
Resolução do problema 137 — encontrar a melhor largura
quando
, para
,
e
(assumido para alvenaria).
- Primeiro escrever
, e em função de sabendo que .
Observe que isso simplifica a expressão e é a razão pela qual
é frequentemente chamado de configuração ótima para retângulos (boa eficiência hidráulica).
- Substituir na fórmula de Manning:
- Simplificar a dependência em
. Agrupando os fatores de :
Logo
- Isolar
:
- Agora inserir os valores numéricos:
, , . Note que (porque e elevando ao quadrado dá cerca de ).
Calcule em etapas:
- Produto
.
-
- Assim,
- Finalmente
Calcule a potência:
. Tomando log ou usando aproximação numérica resulta
- A profundidade correspondente é
.
Comentário sobre a escolha de
: adotei
porque é um valor típico usado para alvenaria/muros de canal em problemas clássicos; se o enunciado usar outro valor (por ex.
ou
) o
resultante mudará, mas o procedimento algébrico é o mesmo.
Passo 5
Verificação rápida (opcional mas didática): testar com
e
os termos
,
, e checar se
fica próximo de
.
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resultado aproximado
, muito próximo do desejado
(diferenças por arredondamento), o que confirma a coerência do cálculo.