Deduza a equação de Chézy e a correlação de Manning.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir (mostrar a origem e as relações fundamentais de) a equação de Chézy e a correlação de Manning, explicando claramente cada passo e o significado de todas as variáveis.
Informações / hipóteses que vamos usar (assuma-as para um escoamento aberto uniforme, estacionário e totalmente desenvolvido):
  • geometria: seção transversal qualquer com área molhada A e perímetro molhado P_w;
  • definimos o raio hidráulico \;R=\dfrac{A}{P_w}\; (unidade: \mathrm{m});
  • a declividade da linha de energia (ou inclinação do leito, para escoamento uniforme) é \;S\; (adimensional; para baixos ângulos \sin\theta\approx\tan\theta\approx S);
  • densidade do fluido \rho e aceleração da gravidade g;
  • esforço de cisalhamento na base (tensão de parede) denotado por \tau_0;
  • velocidade média do escoamento \;V\; (m/s) e vazão Q=A V.
Objetivo prático: mostrar como, a partir do balanço de forças e de argumentos físicos/dimensionais, surge
  • a equação de Chézy \;V=C\sqrt{R S}\; e
  • a fórmula de Manning \;V=\dfrac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}\;,
    explicando o papel dos coeficientes C (Chézy), f (fator de atrito Darcy–Weisbach quando necessário) e n (coeficiente de Manning).

Passo 2

Balanço de forças para obter a tensão de cisalhamento média na parede \tau_0.
Considere um trecho de canal de comprimento \Delta x. Forças que atuam no volume de fluido:
  • componente de peso na direção do escoamento (força motriz): \rho g A \Delta x \sin\theta. Para pequenas inclinações usamos \sin\theta\approx S, então a componente motriz é \rho g A \Delta x S.
  • força de resistência por cisalhamento na parede: \tau_0 P_w \Delta x.
Em escoamento uniforme e estacionário essas duas se equilibram:
\tau_0 P_w \Delta x = \rho g A \Delta x S.
Cancelando \Delta x e isolando \tau_0 obtemos
\tau_0 = \rho g \frac{A}{P_w} S.
Usando a definição de raio hidráulico \;R=\dfrac{A}{P_w}\; vem
\tau_0 = \rho g R S.
Interpretação física: a tensão de cisalhamento média na parede é proporcional à componente do peso do fluido por unidade de área que tende a mover o fluido (proporcional a g, R e S).

Passo 3

Relação dimensional entre velocidade média e tensão de cisalhamento: passo para a forma de Chézy.
A tensão de cisalhamento tem dimensão de pressão ( \mathrm{Pa}=\mathrm{kg\;m^{-1}s^{-2}}). Uma escala de velocidade típica pode ser obtida tomando a raiz quadrada da razão \tau_0/\rho (isso tem dimensão de \mathrm{(m/s)^2} sob a raiz dá \mathrm{m/s}):
V \sim \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}}.
Introduzimos um coeficiente adimensional \alpha (ou coeficiente de ajuste) para transformar a proporcionalidade em igualdade:
V = \alpha \sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}}.
Substituindo \tau_0=\rho g R S do passo anterior:
V = \alpha \sqrt{\frac{\rho g R S}{\rho}} = \alpha \sqrt{g R S}.
Definindo o coeficiente de Chézy C=\alpha (unidade: \mathrm{m^{1/2}s^{-1}}) chegamos à forma clássica:
\boxed{V = C \sqrt{R S}.}
Comentário didático: esse derivação é essencialmente uma combinação do balanço de forças (passo 2) com um argumento dimensional/escala (passo 3) que diz: velocidade tem escala da raiz da tensão por densidade. O coeficiente C incorpora efeitos não previstos pelo argumento simples: rugosidade da superfície, intensidade da turbulência, forma da seção, etc. Portanto C é empírico e varia com a condição da margem e do leito.

Passo 4

Relação com o fator de atrito Darcy–Weisbach e expressão alternativa para C.
Outra forma de escrever a resistência é pela relação de Darcy–Weisbach adaptada a canais (liga a inclinação S ao quadrado da velocidade):
S = \frac{f V^{2}}{8 g R},
onde f é o fator de atrito adimensional (depende de Reynolds e da rugosidade relativa). Isolando V obtemos
V = \sqrt{\frac{8 g R S}{f}}.
Comparando com a forma de Chézy V = C \sqrt{R S}, identifique:
C = \sqrt{\frac{8 g}{f}}.
Portanto C está relacionado ao fator de atrito f: quanto menor f (menos atrito), maior C. O fator f incorpora propriedades turbulentas e rugosidade relativa.

Passo 5

Apresentação da fórmula de Manning e significado do n.
A fórmula de Manning, amplamente usada em hidráulica prática, é uma forma semideterminística/empírica que dá a velocidade média como
\boxed{V=\dfrac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2},}
onde:
  • \;n\; é o coeficiente de Manning (unidades no SI: \mathrm{s\;m^{-1/3}}); ele resume a rugosidade do leito e das margens, variações de seção etc.;
  • \;R é o raio hidráulico em metros;
  • \;S é a inclinação adimensional.
Explicação: a dependência em S^{1/2} vem do mesmo raciocínio de escala (força motriz ∝ S, velocidade escala como raiz), enquanto o expoente 2/3 em R foi obtido empiricamente por ajuste de muitos dados experimentais. Em provas, memorize essa forma e que n é tabelado (valores típicos: leito de alvenaria liso n\approx0,01; canal natural com vegetação mais alto, etc.).

Passo 6

Conexão entre as três formas (Chézy, Darcy–Weisbach e Manning).
Já temos:
V = C \sqrt{R S}, \qquad V = \sqrt{\frac{8 g R S}{f}}, \qquad V = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}.
Igualando Chézy e Manning:
C\sqrt{R S} = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}.
Cancelando \sqrt{R S} em ambos os lados (note que \sqrt{R S}=R^{1/2}S^{1/2}):
C = \frac{1}{n} R^{2/3 - 1/2} = \frac{1}{n} R^{1/6}.
Logo a relação entre C e n é
\boxed{C = \dfrac{R^{1/6}}{n}.}
Combinando com C=\sqrt{\dfrac{8g}{f}} do passo 4, pode-se obter uma relação entre f e n:
\sqrt{\frac{8 g}{f}} = \frac{R^{1/6}}{n} \quad\Rightarrow\quad f = \frac{8 g n^{2}}{R^{1/3}}.
Isso mostra como esses coeficientes são apenas diferentes maneiras de parametrizar a resistência do escoamento; trocar entre eles é direto se R e g são conhecidos.

Passo 7

Justificando (intuitivamente) por que o expoente em Manning é 2/3 — esquema via análise dimensional e regime de escoamento.
Pela análise dimensional com variáveis relevantes V (L/T), g (L/T^2), R (L), inclinação S (adim.) e uma medida de rugosidade de escala k_s (L), uma forma geral dimensionalmente possível é
V = \sqrt{g R}\;\Phi\!\left(\frac{k_s}{R},S\right).
Para escoamentos em que S é pequena e a rugosidade domina (regime de “totalmente rugoso” e turbulento), experimentalmente a função \Phi se comporta como \Phi\propto (R/k_s)^{1/6} S^{1/2}. Inserindo isso:
V \propto \sqrt{g R}\,(R/k_s)^{1/6} S^{1/2} = \left(\text{constante}\cdot k_s^{-1/6}\sqrt{g}\right) R^{2/3} S^{1/2}.
Isso dá a dependência R^{2/3}S^{1/2} observada por Manning; a constante é absorvida em 1/n. Em suma: o expoente 2/3 não vem de um teorema rígido, mas emerge de comportamento turbulento e de como a rugosidade relativa influencia o perfil de velocidade — é, portanto, semi‑empírico.

Passo 8

Como usar na prova (resumo prático e dicas rápidas):
  • calcule o raio hidráulico \;R=\dfrac{A}{P_w}\;;
  • determine a inclinação S (para escoamento uniforme S é a declividade do leito ou da linha de energia);
  • escolha a fórmula:
    • se houver tabelas de n use Manning: \;V=\dfrac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}\; e depois Q=AV;
    • se estiver trabalhando com fator de atrito f use Darcy–Weisbach: S=\dfrac{fV^2}{8gR} ou combine para obter C;
    • se quiser transitar entre formas use C=R^{1/6}/n e C=\sqrt{8g/f}.
  • atenção às unidades: n em \mathrm{s\,m^{-1/3}}, R em \mathrm{m}, S adimensional, g em \mathrm{m\,s^{-2}}.
Força final de ânimo: dá para decorar as formas e praticar alguns exercícios rápidos (calcular R, C, V, Q) que fixam bem esse raciocínio — você tá indo bem, persevera!

Resposta

V = C \sqrt{R S}
V = \dfrac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}

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