Deduza a equação de Chézy e a correlação de Manning.
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir (mostrar a origem e as relações fundamentais de) a equação de Chézy e a correlação de Manning, explicando claramente cada passo e o significado de todas as variáveis.
Informações / hipóteses que vamos usar (assuma-as para um escoamento aberto uniforme, estacionário e totalmente desenvolvido):
- geometria: seção transversal qualquer com área molhada
e perímetro molhado ; - definimos o raio hidráulico
(unidade: ); - a declividade da linha de energia (ou inclinação do leito, para escoamento uniforme) é
(adimensional; para baixos ângulos ); - densidade do fluido
e aceleração da gravidade ; - esforço de cisalhamento na base (tensão de parede) denotado por
; - velocidade média do escoamento
(m/s) e vazão .
Objetivo prático: mostrar como, a partir do balanço de forças e de argumentos físicos/dimensionais, surge
- a equação de Chézy
e - a fórmula de Manning
,
explicando o papel dos coeficientes(Chézy), (fator de atrito Darcy–Weisbach quando necessário) e (coeficiente de Manning).
Passo 2
Balanço de forças para obter a tensão de cisalhamento média na parede
.
Considere um trecho de canal de comprimento
. Forças que atuam no volume de fluido:
- componente de peso na direção do escoamento (força motriz):
. Para pequenas inclinações usamos , então a componente motriz é . - força de resistência por cisalhamento na parede:
.
Em escoamento uniforme e estacionário essas duas se equilibram:
Cancelando
e isolando
obtemos
Usando a definição de raio hidráulico
vem
Interpretação física: a tensão de cisalhamento média na parede é proporcional à componente do peso do fluido por unidade de área que tende a mover o fluido (proporcional a
,
e
).
Passo 3
Relação dimensional entre velocidade média e tensão de cisalhamento: passo para a forma de Chézy.
A tensão de cisalhamento tem dimensão de pressão (
). Uma escala de velocidade típica pode ser obtida tomando a raiz quadrada da razão
(isso tem dimensão de
sob a raiz dá
):
Introduzimos um coeficiente adimensional
(ou coeficiente de ajuste) para transformar a proporcionalidade em igualdade:
Substituindo
do passo anterior:
Definindo o coeficiente de Chézy
(unidade:
) chegamos à forma clássica:
Comentário didático: esse derivação é essencialmente uma combinação do balanço de forças (passo 2) com um argumento dimensional/escala (passo 3) que diz: velocidade tem escala da raiz da tensão por densidade. O coeficiente
incorpora efeitos não previstos pelo argumento simples: rugosidade da superfície, intensidade da turbulência, forma da seção, etc. Portanto
é empírico e varia com a condição da margem e do leito.
Passo 4
Relação com o fator de atrito Darcy–Weisbach e expressão alternativa para
.
Outra forma de escrever a resistência é pela relação de Darcy–Weisbach adaptada a canais (liga a inclinação
ao quadrado da velocidade):
onde
é o fator de atrito adimensional (depende de Reynolds e da rugosidade relativa). Isolando
obtemos
Comparando com a forma de Chézy
, identifique:
Portanto
está relacionado ao fator de atrito
: quanto menor
(menos atrito), maior
. O fator
incorpora propriedades turbulentas e rugosidade relativa.
Passo 5
Apresentação da fórmula de Manning e significado do
.
A fórmula de Manning, amplamente usada em hidráulica prática, é uma forma semideterminística/empírica que dá a velocidade média como
onde:
-
é o coeficiente de Manning (unidades no SI: ); ele resume a rugosidade do leito e das margens, variações de seção etc.; -
é o raio hidráulico em metros; -
é a inclinação adimensional.
Explicação: a dependência em
vem do mesmo raciocínio de escala (força motriz ∝
, velocidade escala como raiz), enquanto o expoente
em
foi obtido empiricamente por ajuste de muitos dados experimentais. Em provas, memorize essa forma e que
é tabelado (valores típicos: leito de alvenaria liso
; canal natural com vegetação mais alto, etc.).
Passo 6
Conexão entre as três formas (Chézy, Darcy–Weisbach e Manning).
Já temos:
Igualando Chézy e Manning:
Cancelando
em ambos os lados (note que
):
Logo a relação entre
e
é
Combinando com
do passo 4, pode-se obter uma relação entre
e
:
Isso mostra como esses coeficientes são apenas diferentes maneiras de parametrizar a resistência do escoamento; trocar entre eles é direto se
e
são conhecidos.
Passo 7
Justificando (intuitivamente) por que o expoente em Manning é
— esquema via análise dimensional e regime de escoamento.
Pela análise dimensional com variáveis relevantes
(L/T),
(L/T^2),
(L), inclinação
(adim.) e uma medida de rugosidade de escala
(L), uma forma geral dimensionalmente possível é
Para escoamentos em que
é pequena e a rugosidade domina (regime de “totalmente rugoso” e turbulento), experimentalmente a função
se comporta como
. Inserindo isso:
Isso dá a dependência
observada por Manning; a constante é absorvida em
. Em suma: o expoente
não vem de um teorema rígido, mas emerge de comportamento turbulento e de como a rugosidade relativa influencia o perfil de velocidade — é, portanto, semi‑empírico.
Passo 8
Como usar na prova (resumo prático e dicas rápidas):
- calcule o raio hidráulico
; - determine a inclinação
(para escoamento uniforme é a declividade do leito ou da linha de energia); - escolha a fórmula:
- se houver tabelas de
use Manning: e depois ; - se estiver trabalhando com fator de atrito
use Darcy–Weisbach: ou combine para obter ; - se quiser transitar entre formas use
e .
- se houver tabelas de
- atenção às unidades:
em , em , adimensional, em .
Força final de ânimo: dá para decorar as formas e praticar alguns exercícios rápidos (calcular
,
,
,
) que fixam bem esse raciocínio — você tá indo bem, persevera!