Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade de 0,006 .
Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade correspondente a um ângulo de
. Qual é a melhor largura de fundo para uma vazão de
?
Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade correspondente a um ângulo de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a melhor largura de fundo
de um canal retangular de alvenaria que perde uniformemente uma vazão
, sabendo que no canal mais eficiente a profundidade
vale metade da largura de fundo (ou seja
). O enunciado fornece ainda uma declividade descrita por um ângulo de
.
Informações relevantes recolhidas do enunciado:
Informações relevantes recolhidas do enunciado:
- Vazão:
. - Relação geométrica do canal eficiente:
. - Declividade dada pelo ângulo:
(portanto a inclinação da linha de energia será ). - Material: alvenaria — preciso usar um coeficiente de rugosidade de Manning
. Como o enunciado não fornece , vou assumir um valor típico para alvenaria lisa: . Vou indicar também o resultado caso o enunciado tivesse usado diretamente (já que havia menção inicial a ), para comparar.
Não há outras informações faltantes.
Passo 2
Resumo das fórmulas que vamos usar (pequena aula):
- Fórmula de Manning para escoamento uniforme (velocidade média):
onde
é a velocidade média,
é o coeficiente de rugosidade de Manning,
é o raio hidráulico e
é a declividade (gradiente, adimensional).
- Vazão relacionada à área e velocidade:
onde
é a área da seção molhada.
- Para um canal retangular de largura de fundo
e profundidade :
onde
é o perímetro molhado. O raio hidráulico é
Vou aplicar essas fórmulas impondo a condição
.
Passo 3
Expressar
,
e
em função de
usando
:
- Área:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
Portanto, com
obtivemos uma expressão simples:
.
Passo 4
Substituir
em Manning e depois na expressão da vazão:
- Velocidade pela fórmula de Manning:
- Vazão
:
Agora vamos manipular essa expressão para isolar
.
Passo 5
Simplificar a expressão de
para ficar na forma
constante:
Primeiro combine as potências de :
multiplicado por
dá
. Assim
Primeiro combine as potências de
Denote a constante entre colchetes por
, isto é
logo
Para resolver
fazemos a potência inversa:
Passo 6
Agora vamos calcular numericamente usando as escolhas:
e
.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Calcule
:
Passo a passo numérico:
- Agora
- Finalmente
A profundidade correspondente será
.
Passo 7
Como havia uma menção inicial a
, apresento também o resultado caso o problema tivesse adotado diretamente
(mantendo
):
- Calcule
- Repetindo a avaliação de
com essa : - Então
e
Portanto, usar
dá
, enquanto usar diretamente
dá
. A diferença é pequena, mas notável.