Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade de 0,006 .
Engenheiros descobriram que o canal retangular mais eficiente (máximo escoamento uniforme para determinada área) escoa com uma profundidade igual á metade da largura de fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade correspondente a um ângulo de 0,5^{\circ}. Qual é a melhor largura de fundo para uma vazão de 3,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a melhor largura de fundo b de um canal retangular de alvenaria que perde uniformemente uma vazão Q=3{,}0\\ \mathrm{m^3/s}, sabendo que no canal mais eficiente a profundidade d vale metade da largura de fundo (ou seja d=b/2). O enunciado fornece ainda uma declividade descrita por um ângulo de 0{,}5^\circ.
Informações relevantes recolhidas do enunciado:
  • Vazão: Q=3{,}0\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Relação geométrica do canal eficiente: d=\tfrac{b}{2}.
  • Declividade dada pelo ângulo: \theta=0{,}5^\circ (portanto a inclinação da linha de energia S será S=\tan\theta).
  • Material: alvenaria — preciso usar um coeficiente de rugosidade de Manning n. Como o enunciado não fornece n, vou assumir um valor típico para alvenaria lisa: n=0{,}015. Vou indicar também o resultado caso o enunciado tivesse usado diretamente S=0{,}006 (já que havia menção inicial a 0{,}006), para comparar.
    Não há outras informações faltantes.

Passo 2

Resumo das fórmulas que vamos usar (pequena aula):
  • Fórmula de Manning para escoamento uniforme (velocidade média):
V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2},
onde V é a velocidade média, n é o coeficiente de rugosidade de Manning, R é o raio hidráulico e S é a declividade (gradiente, adimensional).
  • Vazão relacionada à área e velocidade:
Q=A\,V,
onde A é a área da seção molhada.
  • Para um canal retangular de largura de fundo b e profundidade d:
A=b\,d,\qquad P=b+2d,
onde P é o perímetro molhado. O raio hidráulico é
R=\frac{A}{P}.
Vou aplicar essas fórmulas impondo a condição d=b/2.

Passo 3

Expressar A, P e R em função de b usando d=b/2:
  • Área:
A=b\cdot d=b\cdot\frac{b}{2}=\frac{b^{2}}{2}.
  • Perímetro molhado:
P=b+2d=b+2\cdot\frac{b}{2}=b+b=2b.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{\tfrac{b^{2}}{2}}{2b}=\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{1}{2b}=\frac{b}{4}.
Portanto, com d=b/2 obtivemos uma expressão simples: \;R=\tfrac{b}{4}.

Passo 4

Substituir R em Manning e depois na expressão da vazão:
  • Velocidade pela fórmula de Manning:
V=\frac{1}{n}\left(\frac{b}{4}\right)^{2/3}S^{1/2}.
  • Vazão Q=A\,V:
Q=\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{1}{n}\left(\frac{b}{4}\right)^{2/3}S^{1/2}.
Agora vamos manipular essa expressão para isolar b.

Passo 5

Simplificar a expressão de Q para ficar na forma b^{\alpha}= constante:
Primeiro combine as potências de b: b^{2} multiplicado por b^{2/3} b^{2+2/3}=b^{8/3}. Assim
Q=\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2/3}S^{1/2}\right]b^{8/3}.
Denote a constante entre colchetes por C, isto é
C=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2/3}S^{1/2},
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b^{8/3}=\frac{Q}{C}.
Para resolver b fazemos a potência inversa:
b=\left(\frac{Q}{C}\right)^{3/8}.

Passo 6

Agora vamos calcular numericamente usando as escolhas: n=0{,}015 e S=\tan(0{,}5^\circ).
  • Calcule S:
S=\tan(0{,}5^\circ)\approx 0{,}00872687.
  • Calcule \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2/3}:
\left(\frac{1}{4}\right)^{2/3}=4^{-2/3}\approx 0{,}396850262.
  • Calcule C:
C=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0{,}015}\cdot0{,}396850262\cdot\sqrt{0{,}00872687}.
Passo a passo numérico:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0{,}015}=33{,}333333\ldots
33{,}333333\cdot0{,}396850262\approx13{,}2283421
\sqrt{0{,}00872687}\approx0{,}093443
C\approx13{,}2283421\cdot0{,}093443\approx1{,}23612.
  • Agora b^{8/3}=\dfrac{Q}{C}=\dfrac{3{,}0}{1{,}23612}\approx2{,}42695.
  • Finalmente
b=\left(2{,}42695\right)^{3/8}\approx1{,}394\\ \mathrm{m}.
A profundidade correspondente será d=b/2\approx0{,}697\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Como havia uma menção inicial a S=0{,}006, apresento também o resultado caso o problema tivesse adotado diretamente S=0{,}006 (mantendo n=0{,}015):
  • Calcule \sqrt{S}=\sqrt{0{,}006}\approx0{,}0774597.
  • Repetindo a avaliação de C com essa \sqrt{S}: C\approx13{,}2283421\cdot0{,}0774597\approx1{,}0245.
  • Então b^{8/3}=3{,}0/1{,}0245\approx2{,}929 e
b=\left(2{,}929\right)^{3/8}\approx1{,}50\\ \mathrm{m}.
Portanto, usar S=\tan0{,}5^\circ b\approx1{,}39\\ \mathrm{m}, enquanto usar diretamente S=0{,}006 b\approx1{,}50\\ \mathrm{m}. A diferença é pequena, mas notável.

Resposta

b\approx1{,}39\\ \mathrm{m} (usando S=\tan 0{,}5^\circ e n=0{,}015)
b\approx1{,}50\\ \mathrm{m} (caso S=0{,}006 e n=0{,}015)

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