9-136 A steady velocity field is given by \vec{V}=(u, v, w)= 2 a x^{2} y \vec{i}+3 b x y^{2} \vec{j}+c y \vec{k}, where a, b, and c are constants. Under what conditions is this flow field incompressible?
(a) a=b
(b) a=-b
(c) 2 a=-3 b
(d) 3 a=2 b

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade constante no tempo
\vec{V}=(u,v,w)=2a x^{2}y\,\vec{i}+3b x y^{2}\,\vec{j}+c y\,\vec{k},
onde a, b e c são constantes. A pergunta é: sob quais condições esse campo de fluxo é incompressível? As alternativas são:
(a) a=b
(b) a=-b
(c) 2a=-3b
(d) 3a=2b

Passo 2

Lembrete didático: um campo de velocidade é incompressível quando a divergência dele é zero em todo o espaço (ou na região considerada). A divergência de \vec{V}=(u,v,w) é definida por
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui x,y,z são as coordenadas espaciais e a,b,c são constantes (ou seja, não dependem de x,y,z).

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
Para u=2a x^{2}y: ao derivar em relação a x, y e a são constantes, e a derivada de x^{2} é 2x. Então
\frac{\partial u}{\partial x}=2a\cdot(2x)\cdot y=4a x y.
Para v=3b x y^{2}: ao derivar em relação a y, x e b são constantes, e a derivada de y^{2} é 2y. Então
\frac{\partial v}{\partial y}=3b\cdot x\cdot(2y)=6b x y.
Para w=c y: w não depende de z, portanto
\frac{\partial w}{\partial z}=0.

Passo 4

Somando as parcelas da divergência obtemos
\nabla\cdot\vec{V}=4a x y + 6b x y + 0 = x y\,(4a+6b).

Passo 5

Para que o fluxo seja incompressível precisa valer \nabla\cdot\vec{V}=0 para todos os pontos. A expressão obtida é x y\,(4a+6b). Como x e y variam no espaço, a única forma de garantir que isso seja zero em todo lugar (e não apenas em algumas curvas/planos) é fazer o coeficiente entre parênteses igual a zero:
4a+6b=0.
Dividindo ambos os lados por 2
2a+3b=0,
ou equivalentemente
2a=-3b.
Essa condição corresponde exatamente à alternativa (c).

Resposta

(c) 2a=-3b

Exercícios relacionados