9-136 A steady velocity field is given by
, where
, and
are constants. Under what conditions is this flow field incompressible?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade constante no tempo
onde
,
e
são constantes. A pergunta é: sob quais condições esse campo de fluxo é incompressível? As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Lembrete didático: um campo de velocidade é incompressível quando a divergência dele é zero em todo o espaço (ou na região considerada). A divergência de
é definida por
Aqui
são as coordenadas espaciais e
são constantes (ou seja, não dependem de
).
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
Para
: ao derivar em relação a
,
e
são constantes, e a derivada de
é
. Então
Para
: ao derivar em relação a
,
e
são constantes, e a derivada de
é
. Então
Para
:
não depende de
, portanto
Passo 4
Somando as parcelas da divergência obtemos
Passo 5
Para que o fluxo seja incompressível precisa valer
para todos os pontos. A expressão obtida é
. Como
e
variam no espaço, a única forma de garantir que isso seja zero em todo lugar (e não apenas em algumas curvas/planos) é fazer o coeficiente entre parênteses igual a zero:
Dividindo ambos os lados por
dá
ou equivalentemente
Essa condição corresponde exatamente à alternativa (c).
Resposta
(c)