9-135 A steady, two-dimensional, incompressible flow field in the x y-plane has a stream function given by \psi=a x^{2}+b y^{2}+c y, where a, b, and c are constants. The expression for the velocity component u is
(a) 2 a x
(b) 2 b y+c
(c) -2 a x
(d) -2 b y-c

Passo 1

O enunciado nos dá a função (stream function)
\psi = a x^{2} + b y^{2} + c y,
onde a, b e c são constantes, e pede a expressão do componente de velocidade u. O enunciado apresenta quatro alternativas:
(a) 2 a x
(b) 2 b y + c
(c) -2 a x
(d) -2 b y - c.

Passo 2

O que é preciso lembrar sobre função de corrente em escoamento bidimensional: quando se define uma função de corrente \psi(x,y) para um escoamento incompressível no plano x y, as componentes da velocidade u (no eixo x) e v (no eixo y) são relacionadas com \psi por derivadas parciais. A convenção mais usada e que preserva a continuidade é
u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Por que isso funciona? Porque a divergência da velocidade fica
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y\partial x} = 0,
ou seja, a condição de incompressibilidade \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 é automaticamente satisfeita. Além disso, curvas de nível \psi= constante são linhas de corrente (tangente à velocidade), o que é consistente com essa escolha de sinais.

Passo 3

Agora aplicamos a definição para obter u. Tomamos a derivada parcial de \psi em relação a y:
u = \frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(a x^{2} + b y^{2} + c y\bigr).
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(a x^{2}) = 0, porque x^{2} é constante quando derivamos em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(b y^{2}) = 2 b y, usando a regra do poder: \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(c y) = c, pois a derivada de y é 1 e c é constante.
Somando os termos:
u = 0 + 2 b y + c = 2 b y + c.

Passo 4

(Faça um cheque rápido para ganhar confiança.) Se calcularmos v pela outra fórmula temos
v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}\!(a x^{2} + b y^{2} + c y) = -2 a x.
Agora a divergência:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2 b y + c) + \frac{\partial}{\partial y}(-2 a x) = 0 + 0 = 0,
confirmando a consistência com escoamento incompressível.

Passo 5

Resumo prático para a prova: sempre lembra que, para função de corrente \psi(x,y), u=\partial\psi/\partial y. Basta derivar \psi em relação a y termo a termo e escolher a alternativa que coincidir com o resultado.

Resposta

(b) 2 b y + c

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