9-135 A steady, two-dimensional, incompressible flow field in the
-plane has a stream function given by
, where
, and
are constants. The expression for the velocity component
is
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a função (stream function)
onde
,
e
são constantes, e pede a expressão do componente de velocidade
. O enunciado apresenta quatro alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
O que é preciso lembrar sobre função de corrente em escoamento bidimensional: quando se define uma função de corrente
para um escoamento incompressível no plano
, as componentes da velocidade
(no eixo
) e
(no eixo
) são relacionadas com
por derivadas parciais. A convenção mais usada e que preserva a continuidade é
Por que isso funciona? Porque a divergência da velocidade fica
ou seja, a condição de incompressibilidade
é automaticamente satisfeita. Além disso, curvas de nível
constante são linhas de corrente (tangente à velocidade), o que é consistente com essa escolha de sinais.
Passo 3
Agora aplicamos a definição para obter
. Tomamos a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
-
, porque é constante quando derivamos em relação a . -
, usando a regra do poder: . -
, pois a derivada de é e é constante.
Somando os termos:
Passo 4
(Faça um cheque rápido para ganhar confiança.) Se calcularmos
pela outra fórmula temos
Agora a divergência:
confirmando a consistência com escoamento incompressível.
Passo 5
Resumo prático para a prova: sempre lembra que, para função de corrente
,
. Basta derivar
em relação a
termo a termo e escolher a alternativa que coincidir com o resultado.
Resposta
(b)