9-134 A steady, two-dimensional, incompressible flow field in the
-plane has a stream function given by
, where
, and
are constants. The expression for the velocity component
is
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função-escala (stream function)
onde
,
e
são constantes, e pede a expressão para a componente de velocidade
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função-escala é bidimensional e o escoamento é incompressível e permanente.
- Quer-se a componente
do campo de velocidade no plano .
Passo 2
O que é a função-escala e como ela se relaciona com as componentes de velocidade (explicação didática, sem pular etapas).
-
Em escoamentos bidimensionais incompressíveis podemos definir uma função-escala
tal que as linhas de constante são linhas de corrente. Isso é uma construção muito útil porque incorpora automaticamente a conservação de massa (continuidade) para um fluido incompressível. -
A convenção padrão (e a que vamos usar) relaciona
com as componentes de velocidade (componente na direção ) e (componente na direção ) assim:
Expliquei por que esses sinais aparecem no próximo passo.
Passo 3
Justificativa da convenção (mostrando que garante incompressibilidade).
- A equação de continuidade para fluxo incompressível em 2D é
- Substituindo
e obtemos
porque derivadas mistas são iguais (continuidade de segunda derivada). Logo essa escolha de definições satisfaz sempre a continuidade, por isso é a convenção adotada.
Passo 4
Calcular a derivada necessária e obter
.
- Primeiro calcule a derivada parcial de
em relação a :
- Usando a relação
vem
Passo 5
Comentário extra (útil na prova): a componente
seria, para referência,
que aparece entre as alternativas, mas a pergunta pediu especificamente
.
Resposta
(c)