9-134 A steady, two-dimensional, incompressible flow field in the x y-plane has a stream function given by \psi=a x^{2}+b y^{2}+c y, where a, b, and c are constants. The expression for the velocity component v is
(a) 2 a x
(b) 2 b y+c
(c) -2 a x
(d) -2 b y-c

Passo 1

O enunciado dá a função-escala (stream function)
\psi = a x^{2} + b y^{2} + c y,
onde a, b e c são constantes, e pede a expressão para a componente de velocidade v.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função-escala é bidimensional e o escoamento é incompressível e permanente.
  • Quer-se a componente v do campo de velocidade no plano xy.

Passo 2

O que é a função-escala e como ela se relaciona com as componentes de velocidade (explicação didática, sem pular etapas).
  • Em escoamentos bidimensionais incompressíveis podemos definir uma função-escala \psi(x,y) tal que as linhas de \psi= constante são linhas de corrente. Isso é uma construção muito útil porque incorpora automaticamente a conservação de massa (continuidade) para um fluido incompressível.
  • A convenção padrão (e a que vamos usar) relaciona \psi com as componentes de velocidade u (componente na direção x) e v (componente na direção y) assim:
u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v = -\,\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Expliquei por que esses sinais aparecem no próximo passo.

Passo 3

Justificativa da convenção (mostrando que garante incompressibilidade).
  • A equação de continuidade para fluxo incompressível em 2D é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
  • Substituindo u = \dfrac{\partial \psi}{\partial y} e v = -\dfrac{\partial \psi}{\partial x} obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y\partial x} =0,
porque derivadas mistas são iguais (continuidade de segunda derivada). Logo essa escolha de definições satisfaz sempre a continuidade, por isso é a convenção adotada.

Passo 4

Calcular a derivada necessária e obter v.
  • Primeiro calcule a derivada parcial de \psi em relação a x:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(a x^{2} + b y^{2} + c y\bigr) = 2 a x + 0 + 0 = 2 a x.
  • Usando a relação v = -\,\dfrac{\partial \psi}{\partial x} vem
v = -\bigl(2 a x\bigr) = -2 a x.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): a componente u seria, para referência,
u = \frac{\partial \psi}{\partial y} = 2 b y + c,
que aparece entre as alternativas, mas a pergunta pediu especificamente v.

Resposta

(c) -2 a x

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