13a
Determine L para que a função dada seja contínua em R.
(a) f(x)=clsen(x^2+2)-sen(x+2)x & , se x neq 0 L & , se x=0

Passo 1

Resumimos a função e nosso objetivo:
f(x)= sin(x^2+2)-sin(x+2)x, & xneq 0, L, & x=0
Queremos achar L para que f seja contínua em todo R, especialmente em x=0.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=0, precisamos ter
L = limxto0 f(x) = limxto0 sin(x^2+2)-sin(x+2)x

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos usar séries de Taylor em torno de x=0. Primeiro, expandimos sin(x^2+2):
sin(x^2+2) = sin2 + x^2cos2 + o(x^2)

Passo 4

Em seguida, expandimos sin(x+2) em torno de x=0:
sin(x+2) = sin2 + xcos2 - x^22sin2 + o(x^2)

Passo 5

Subtraindo as expansões e dividindo por x, temos:
sin(x^2+2)-sin(x+2)x = -xcos2 + l(x^2cos2 + tfracx^22sin2r) + o(x^2)x = -cos2 + x(cos2 + tfrac12sin2) + o(x)
Tomando xto0, o limite é -cos2, logo L = -cos2.

Resposta

L = -cos2

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