Pessoa I:

  • Fez a mudança de variável u=2 x.
  • Daí, du/dx =2 du=2 dx
  • integral sen(2 x) d x=integral sen(u) cdot(d u2)=12 integral sen u d u=12(-cos u)+C
  • Voltando para variável

Pessoa II:

  • Sabendo que sen 2 x=2 cdot sen x cdot cos x e lembrando que a derivada de senx é o cosx, então integral sen(2 x) d x=integral 2 cdot sen x cdot cos x d x
  • 2 - Assim, integral 2 cdot sen x cdot cos x d x=2 integral sen x cdot cos x d x=2 integral z cdot d z=2 cdot z^22+B
  • Sendo B constante de integração.
  • Voltando para variável x , e simplificando… sen^2 x+B

Pergunta: Quem está com a razão (ou ambos estão certos)? JUSTIFICAR RESPOSTA.

Opção I:

Derivar os resultados e verificar se obtemos sen(2x).
Procurem argumentar - como forma de melhor apreender conceitos - o passo a passo que omiti!
dd x[C-12 cos (2 x)]=-12 dd x[cos (2 x)]=-12[-sen(2 x)] cdot 2=cdots
Segundo resultado:
dd x[B+sen^2 x]=dd x[(sen x)^2]=2(sen x) cdot cos x=cdots

Opção II:

Verificar que um resultado equivale ao outro.
No caso, cos (2 x)=cos ^2 x-sen^2 x=(1-sen^2 x)-sen^2 x=1-2 sen^2 x.
Logo, 2 sen^2 x=1-cos (2 x) sen^2 x=1 / 2-1 / 2 cdot cos (2 x)

Passo 1

Na questão, a gente tem dois candidatos a antiderivada de sin(2x): um é -tfrac12cos(2x)+C e o outro é sin^2(x)+B. O conteúdo é integração de uma função trigonométrica e vamos usar tanto substituição quanto identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro vamos verificar derivando cada resultado se volta sin(2x). Para o primeiro:
ddxl(-tfrac12cos(2x)r) = -tfrac12,ddx[cos(2x)] = -tfrac12l(-sin(2x)r)cdot2 = sin(2x)
Logo está certo.

Passo 3

Agora para o segundo: derivada de sin^2(x) é
ddxl(sin^2(x)r) = 2sin(x)cdotcos(x) = sin(2x)
Também gera sin(2x), logo é válida.

Passo 4

Para ver que não há contradição, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(x) = tfrac12l(1 - cos(2x)r) = tfrac12 - tfrac12cos(2x)
Assim, sin^2(x) + B = -tfrac12cos(2x) + (tfrac12 + B), que é igual a -tfrac12cos(2x) + C para C = tfrac12 + B.

Resposta

Ambos estão certos, pois cada um fornece uma antiderivada de sin(2x) e diferem apenas por uma constante de integração.

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