13.Supondo que os valores
e 110 constituam uma amostra aleatória de preços diários, em reais,de determinado título financeiro oferecido por uma instituição financeira,julgue o item a seguir:O primeiro quartil é inferior à média amostral?Explique e demonstre os cálculos.
Passo 1
O enunciado pergunta se o primeiro quartil é inferior à média amostral, pedindo explicação e demonstração dos cálculos. Os dados da amostra, em reais, são:
Devemos calcular o primeiro quartil e a média amostral
e compará-los.
Devemos calcular o primeiro quartil
Passo 2
Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (porque quartis dependem da posição na amostra ordenada). Ordenando:
Eu ordenei os valores e escrevi a sequência acima.
Passo 3
O que é o primeiro quartil
? Uma forma comum e simples de definir
para uma amostra é: é a mediana da metade inferior dos dados. Para
ímpar, exclui-se a mediana central e toma-se a mediana dos valores abaixo dela. Aqui
, a mediana (valor central) é o 3.º elemento
. A metade inferior (excluindo a mediana) são os dois primeiros valores da lista ordenada:
A mediana desses dois valores (que é o mesmo que a média aritmética deles, quando são dois) dá
. Vou calcular isso passo a passo.
Passo 4
Calculando
como mediana de
e
:
Faço a soma:
Agora divido por
:
Portanto
.
Observação didática rápida: outra forma de achar a posição do
é usar a fórmula da posição
. Aqui
, ou seja,
fica a meio caminho entre o 1.º e o 2.º valores (que são
e
), o que dá novamente
. Assim ambas as convenções concordam neste caso.
Passo 5
Agora calculamos a média amostral
. Definição: a média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Em fórmula:
Aqui
. Vou somar os valores originais (ou os ordenados, tanto faz):
Faço as somas passo a passo:
Portanto a soma é
. Divido pelo número de observações
:
Passo 6
Comparação direta: obtivemos
Como
, concluímos que o primeiro quartil é de fato inferior à média amostral.
Resposta
Sim.
e
, portanto
.