13.Supondo que os valores 105,115,98,102 e 110 constituam uma amostra aleatória de preços diários, em reais,de determinado título financeiro oferecido por uma instituição financeira,julgue o item a seguir:O primeiro quartil é inferior à média amostral?Explique e demonstre os cálculos.

Passo 1

O enunciado pergunta se o primeiro quartil é inferior à média amostral, pedindo explicação e demonstração dos cálculos. Os dados da amostra, em reais, são:
\;105,\;115,\;98,\;102,\;110.
Devemos calcular o primeiro quartil Q_1 e a média amostral \bar{x} e compará-los.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (porque quartis dependem da posição na amostra ordenada). Ordenando:
98,\;102,\;105,\;110,\;115.
Eu ordenei os valores e escrevi a sequência acima.

Passo 3

O que é o primeiro quartil Q_1? Uma forma comum e simples de definir Q_1 para uma amostra é: é a mediana da metade inferior dos dados. Para n ímpar, exclui-se a mediana central e toma-se a mediana dos valores abaixo dela. Aqui n=5, a mediana (valor central) é o 3.º elemento \;105. A metade inferior (excluindo a mediana) são os dois primeiros valores da lista ordenada:
98,\;102.
A mediana desses dois valores (que é o mesmo que a média aritmética deles, quando são dois) dá Q_1. Vou calcular isso passo a passo.

Passo 4

Calculando Q_1 como mediana de \;98 e \;102:
Q_1=\frac{98+102}{2}.
Faço a soma:
98+102=200.
Agora divido por 2:
Q_1=\frac{200}{2}=100.
Portanto Q_1=100.
Observação didática rápida: outra forma de achar a posição do Q_1 é usar a fórmula da posição p=\frac{n+1}{4}. Aqui p=\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=1,5, ou seja, Q_1 fica a meio caminho entre o 1.º e o 2.º valores (que são 98 e 102), o que dá novamente 100. Assim ambas as convenções concordam neste caso.

Passo 5

Agora calculamos a média amostral \bar{x}. Definição: a média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Em fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=5. Vou somar os valores originais (ou os ordenados, tanto faz):
105+115+98+102+110.
Faço as somas passo a passo:
105+115=220,
220+98=318,
318+102=420,
420+110=530.
Portanto a soma é 530. Divido pelo número de observações 5:
\bar{x}=\frac{530}{5}=106.

Passo 6

Comparação direta: obtivemos
Q_1=100\quad\text{e}\quad \bar{x}=106.
Como 100<106, concluímos que o primeiro quartil é de fato inferior à média amostral.

Resposta

Sim. Q_1=100 e \bar{x}=106, portanto Q_1<\bar{x}.

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