15.Uma distribuição apresenta as seguintes medidas:Primeiro Quartil(Q1 )=25 Décimo Percentil(P10) =20 Segundo Quartil \{\mathrm{Q} 2)=28 Nonagésimo Percentil (\mathrm{P} 90)=50 Terceiro Quartil (\mathrm{Q} 3)=40 Moda (\mathrm{Mo}) =30 Média =35 .Assinale a opção que apresenta respectivamente 0 grau de achatamento e 0 tipo de assimetria da curva correspondente a esses dados:
a.Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à direita.
b.Curva platicúrtica e assimetria positiva ou à direita.
c.Curva mesocúrtica e assimetria negativa ou à esquerda.
d.Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à esquerda.
e.Curva platicúrtica e assimetria nula.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição com as seguintes medidas (vou listar todas exatamente como foi dado):
Q1 = 25,\quad P_{10}=20,\quad Q2=28,\quad P_{90}=50,\quad Q3=40,\quad Mo=30,\quad \text{Média}=35.é
A pergunta pede: identificar, dentre as alternativas, qual opção apresenta respectivamente “0 grau de achatamento” e “0 tipo de assimetria” da curva correspondente a esses dados — ou seja, decidir qual alternativa melhor descreve o tipo de achatamento (platicúrtica / mesocúrtica / leptocúrtica) e o sentido da assimetria (nula / positiva à direita / negativa à esquerda) da distribuição dada.

Passo 2

Primeiro vamos entender como inferir o sentido da assimetria (positivo / negativo / nulo) usando as medidas de tendência central que temos: média, mediana e moda. Regra prática muito usada:
  • Se \text{média}>\text{mediana}>\text{moda}é costuma indicar assimetria positiva (assimetria à direita).
  • Se \text{média}<\text{mediana}<\text{moda}é costuma indicar assimetria negativa (assimetria à esquerda).
    Aqui temos os valores (em ordem numérica): Q2=28,\; Mo=30,\; \text{Média}=35é. Observando:
\text{Média}=35>\text{Moda}=30> \text{Mediana}=28.é
Mesmo que não esteja exatamente na forma clássica \text{média}>\text{mediana}>\text{moda}é, o fato de a média ser a maior entre as três indica tendência de assimetria para a direita (positiva). Vou quantificar isso com duas medidas robustas de assimetria para ficar bem claro.

Passo 3

Usando o coeficiente de Bowley (assimetria por quartis), que é robusto e definido por
\text{Bowley}=\frac{Q_1+Q_3-2Q_2}{Q_3-Q_1},
onde Q_1,Q_2,Q_3 são, respectivamente, o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil. Esse coeficiente é positivo quando a distribuição é assimétrica à direita. Calculando com os dados:
\text{Bowley}=\frac{25+40-2\cdot 28}{40-25}=\frac{65-56}{15}=\frac{9}{15}=0{,}6.
Como \text{Bowley}=0{,}6>0, isso confirma assimetria positiva (à direita). Explicação didática: o numerador mede o deslocamento da mediana em relação ao centro entre Q_1 e Q_3; positivo significa cauda mais longa à direita.

Passo 4

Outra verificação simples é o coeficiente de Pearson aproximado usando média e moda:
\text{Pearson}_1 = \text{Média} - \text{Moda} = 35-30=5>0,é
ou a forma normalizada aproximada
\text{Pearson}_2=\frac{3(\text{Média}-\text{Mediana})}{\sigma}\quad\text{(sinal indica direção)}.éçã
Mesmo sem \sigma exato, o sinal de \text{Média}-\text{Mediana}=7>0é indica assimetria positiva. Portanto temos consistência: assimetria positiva.

Passo 5

Agora vamos inferir o tipo de achatamento (curva platicúrtica, mesocúrtica ou leptocúrtica). Uma maneira prática de comparar a “concentração central vs. caudas” é usar a razão
R=\frac{P_{90}-P_{10}}{Q_3-Q_1}.
Para uma distribuição normal teoricamente temos
P_{90}-P_{10}\approx 2\cdot 1{,}2816\,\sigma\approx 2{,}5632\,\sigma
e
Q_3-Q_1\approx 2\cdot 0{,}6745\,\sigma\approx 1{,}349\,\sigma,
logo a razão teórica normal é
R_{\text{normal}}\approx\frac{2{,}5632}{1{,}349}\approx 1{,}9.
Agora calculemos a razão observada com os dados (eu peguei P_{10} e P_{90} do enunciado):
R_{\text{obs}}=\frac{P_{90}-P_{10}}{Q_3-Q_1}=\frac{50-20}{40-25}=\frac{30}{15}=2.
Comparação: R_{\text{obs}}=2 é ligeiramente maior que R_{\text{normal}}\approx1{,}9. Interpretação didática: quando a largura entre P_{90} e P_{10} é relativamente maior do que a largura interquartil em comparação com o caso normal, isso indica proporcionalmente mais massa nas caudas (caudas mais pesadas) — característica de uma distribuição leptocúrtica (kurtose positiva). Se R_{\text{obs}} fosse significativamente menor que 1{,}9, indicaríamos platicurtose (caudas mais leves). Se fosse aproximadamente igual a 1{,}9, indicaríamos mesocurtose (sem excesso de achatamento em relação à normal).

Passo 6

Conclusão das duas inferências:
  • Assimetria: os três testes (ordem média/mediana/moda, coeficiente de Bowley positivo, diferença média-mediana positiva) indicam claramente assimetria positiva (à direita).
  • Achatamento: a razão \dfrac{P_{90}-P_{10}}{Q_3-Q_1}=2 é um pouco maior que o valor normal de \approx1{,}9, indicando caudas ligeiramente mais pesadas que a normal — isto é, tendência a leptocurtose (curva leptocúrtica).
Portanto, a descrição que melhor encaixa é “curva leptocúrtica e assimetria positiva (à direita)”.

Passo 7

Agora verifico as alternativas fornecidas: a) Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à direita. Essa alternativa coincide com nossas conclusões. As demais alternativas descrevem combinação diferente (platicúrtica, mesocúrtica, assimetria nula ou negativa), que não batem com os sinais que calculamos.

Resposta

(a)

Exercícios relacionados