15.Uma distribuição apresenta as seguintes medidas:Primeiro Quartil(Q1 )=25 Décimo Percentil(P10)
Segundo Quartil
Nonagésimo Percentil
Terceiro Quartil
Moda
Média
.Assinale a opção que apresenta respectivamente 0 grau de achatamento e 0 tipo de assimetria da curva correspondente a esses dados:
a.Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à direita.
b.Curva platicúrtica e assimetria positiva ou à direita.
c.Curva mesocúrtica e assimetria negativa ou à esquerda.
d.Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à esquerda.
e.Curva platicúrtica e assimetria nula.
a.Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à direita.
b.Curva platicúrtica e assimetria positiva ou à direita.
c.Curva mesocúrtica e assimetria negativa ou à esquerda.
d.Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à esquerda.
e.Curva platicúrtica e assimetria nula.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição com as seguintes medidas (vou listar todas exatamente como foi dado):
A pergunta pede: identificar, dentre as alternativas, qual opção apresenta respectivamente “0 grau de achatamento” e “0 tipo de assimetria” da curva correspondente a esses dados — ou seja, decidir qual alternativa melhor descreve o tipo de achatamento (platicúrtica / mesocúrtica / leptocúrtica) e o sentido da assimetria (nula / positiva à direita / negativa à esquerda) da distribuição dada.
Passo 2
Primeiro vamos entender como inferir o sentido da assimetria (positivo / negativo / nulo) usando as medidas de tendência central que temos: média, mediana e moda. Regra prática muito usada:
- Se
costuma indicar assimetria positiva (assimetria à direita). - Se
costuma indicar assimetria negativa (assimetria à esquerda).
Aqui temos os valores (em ordem numérica):. Observando:
Mesmo que não esteja exatamente na forma clássica
, o fato de a média ser a maior entre as três indica tendência de assimetria para a direita (positiva). Vou quantificar isso com duas medidas robustas de assimetria para ficar bem claro.
Passo 3
Usando o coeficiente de Bowley (assimetria por quartis), que é robusto e definido por
onde
são, respectivamente, o primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil. Esse coeficiente é positivo quando a distribuição é assimétrica à direita. Calculando com os dados:
Como
, isso confirma assimetria positiva (à direita). Explicação didática: o numerador mede o deslocamento da mediana em relação ao centro entre
e
; positivo significa cauda mais longa à direita.
Passo 4
Outra verificação simples é o coeficiente de Pearson aproximado usando média e moda:
ou a forma normalizada aproximada
Mesmo sem
exato, o sinal de
indica assimetria positiva. Portanto temos consistência: assimetria positiva.
Passo 5
Agora vamos inferir o tipo de achatamento (curva platicúrtica, mesocúrtica ou leptocúrtica). Uma maneira prática de comparar a “concentração central vs. caudas” é usar a razão
Para uma distribuição normal teoricamente temos
e
logo a razão teórica normal é
Agora calculemos a razão observada com os dados (eu peguei
e
do enunciado):
Comparação:
é ligeiramente maior que
. Interpretação didática: quando a largura entre
e
é relativamente maior do que a largura interquartil em comparação com o caso normal, isso indica proporcionalmente mais massa nas caudas (caudas mais pesadas) — característica de uma distribuição leptocúrtica (kurtose positiva). Se
fosse significativamente menor que
, indicaríamos platicurtose (caudas mais leves). Se fosse aproximadamente igual a
, indicaríamos mesocurtose (sem excesso de achatamento em relação à normal).
Passo 6
Conclusão das duas inferências:
- Assimetria: os três testes (ordem média/mediana/moda, coeficiente de Bowley positivo, diferença média-mediana positiva) indicam claramente assimetria positiva (à direita).
- Achatamento: a razão
é um pouco maior que o valor normal de , indicando caudas ligeiramente mais pesadas que a normal — isto é, tendência a leptocurtose (curva leptocúrtica).
Portanto, a descrição que melhor encaixa é “curva leptocúrtica e assimetria positiva (à direita)”.
Passo 7
Agora verifico as alternativas fornecidas: a) Curva leptocúrtica e assimetria positiva ou à direita. Essa alternativa coincide com nossas conclusões. As demais alternativas descrevem combinação diferente (platicúrtica, mesocúrtica, assimetria nula ou negativa), que não batem com os sinais que calculamos.
Resposta
(a)