14.12 Determine a queda de pressão por 100 m de comprimento de um tubo horizontal novo de ferro fundido com 0,20 \mathrm{~m} de diâmetro quando a velocidade média for de 1,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a queda de pressão ao longo de 100\\ \mathrm{m} de um tubo horizontal novo de ferro fundido com diâmetro 0{,}20\\ \mathrm{m} quando a velocidade média do fluido é 1{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Dados fornecidos:
L = 100\\ \mathrm{m},\quad D = 0{,}20\\ \mathrm{m},\quad V = 1{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

O que precisamos assumir para poder calcular (o enunciado não informou o fluido nem a rugosidade, então eu assumo o caso mais comum: água a 20^\circ\mathrm{C} em tubulação nova de ferro fundido):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Rugosidade absoluta típica para tubo de ferro fundido novo (valor usado comumente em engenharia):
\varepsilon = 0{,}00026\\ \mathrm{m}.
Vou usar a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito (queda de pressão por comprimento): a explico no próximo passo.

Passo 3

Apresentação da fórmula principal e significado das variáveis.
A queda de pressão total por atrito ao longo de um comprimento L é dada por Darcy–Weisbach:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde
  • \Delta p é a queda de pressão (Pa),
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • D é o diâmetro interno do tubo (m),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m ^3),
  • V é a velocidade média do fluido (m/s).
Para usar essa fórmula precisamos do fator de atrito f. Ele depende do número de Reynolds e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Calculamos primeiro o número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re} = \frac{1{,}7\times 0{,}20}{1{,}0\times10^{-6}} = \frac{0{,}34}{1{,}0\times10^{-6}} = 340{,}000.
Interpretação: \mathrm{Re}=3{,}4\times10^{5}, ou seja, escoamento claramente turbulento (maior que 4000).

Passo 4

Cálculo do fator de atrito f. Explicação das opções:
  • Para escoamento turbulento em tubos rugosos, o fator f é obtido pela equação implícita de Colebrook ou por fórmulas explícitas aproximadas como Swamee–Jain. Swamee–Jain é prática pois dá f diretamente com boa precisão:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui:
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds (adimensional).
Calculemos os termos internos passo a passo.
Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0{,}00026}{0{,}20} = 0{,}0013.
Termo \varepsilon/(3{,}7D):
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{0{,}00026}{3{,}7\times0{,}20} = \frac{0{,}00026}{0{,}74} \approx 0{,}000351.
Termo \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}. Primeiro \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9} = (3{,}4\times10^{5})^{0{,}9} \approx 9{,}5\times10^{4}\\ (\text{aprox.}),
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\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{9{,}5\times10^{4}} \approx 6{,}0\times10^{-5}.
Somando os dois termos dentro do \log_{10}:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 0{,}000351 + 0{,}000060 = 0{,}000411.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(0{,}000411) \approx -3{,}385.
Elevando ao quadrado e aplicando a fórmula:
\left[\log_{10}(\cdots)\right]^{2} \approx (-3{,}385)^{2} \approx 11{,}46,
f = \frac{0{,}25}{11{,}46} \approx 0{,}0218.
Portanto tomamos f \approx 0{,}0218 (valor razoável para escoamento turbulento em tubulação com esta rugosidade).

Passo 5

Cálculo da queda de pressão usando Darcy–Weisbach.
Primeiro, calcule \rho V^{2}/2:
\frac{\rho V^{2}}{2} = \frac{1000\times(1{,}7)^{2}}{2} = 1000\times\frac{2{,}89}{2} = 1000\times1{,}445 = 1{,}445\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Relação L/D:
\frac{L}{D} = \frac{100}{0{,}20} = 500.
Agora a queda de pressão:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2} = 0{,}0218\times 500\times 1{,}445\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Multiplicando:
0{,}0218\times 500 = 10{,}9\quad(\text{aprox.}),
\Delta p \approx 10{,}9 \times 1{,}445\times10^{3} \approx 1{,}58\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais amigáveis:
\Delta p \approx 1{,}58\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 15{,}8\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Conversão para perda de carga em metros de coluna d’água (útil em hidráulica). A relação entre pressão e carga hidráulica é \Delta p = \rho g h, então
h = \frac{\Delta p}{\rho g} \approx \frac{1{,}58\times10^{4}}{1000\times 9{,}81} \approx 1{,}61\\ \mathrm{m}.

Resposta

\Delta p \approx 1{,}58\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 15{,}8\\ \mathrm{kPa}).
Perda de carga equivalente: h \approx 1{,}61\\ \mathrm{m}.

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