14.14 Água escoa de um grande tanque para um outro a uma taxa de
através de um tubo horizontal de ferro fundido de 3 in de diâmetro e 200 ft de comprimento. Se as perdas de carga localizadas forem desprezadas, determine a diferença na elevação das superfícies livres dos tanques.
Passo 1
O enunciado pede a diferença de elevação entre as superfícies livres de dois tanques conectados por um tubo horizontal, sabendo que a água escoa de um tanque para o outro à vazão
, pelo tubo de diâmetro
e comprimento
. Foi dito para desprezar perdas localizadas. Dados extraídos do enunciado:
O que precisamos encontrar: a diferença de elevação entre as superfícies livres dos tanques (ou seja, a perda de carga total exigida para manter essa vazão), desprezando perdas localizadas.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a área da secção transversal do tubo e a velocidade média do escoamento. A área de seção transversal de um tubo circular é dada por
onde
é o diâmetro interno. Substituindo
:
Agora usamos a equação da continuidade (vazão volumétrica = área × velocidade média) para obter a velocidade média
:
Explicação curta: isso significa que a água, em média, atravessa a seção do tubo a cerca de
.
Passo 3
Precisamos saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento) para escolher como determinar a perda por atrito. Para isso calculamos o número de Reynolds:
onde
é a viscosidade cinemática da água. Para água a temperatura ambiente usaremos o valor típico
Substituindo
e
:
Comentário: como
, o escoamento é claramente turbulento.
Passo 4
Para tubos de ferro fundido precisamos considerar a rugosidade absoluta
. Um valor típico para ferro fundido é
A rugosidade relativa é
:
Essa rugosidade relativa indica um escoamento turbulento com efeito da rugosidade — portanto devemos usar a fórmula de Darcy–Weisbach junto com uma expressão para o fator de atrito na parede.
Passo 5
A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito é
onde:
-
é a perda de carga por atrito (em ), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento do tubo ( ), -
é o diâmetro ( ), -
é a velocidade média ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ).
Nosso objetivo é calcular
e daí
. Como o escoamento é turbulento e temos rugosidade e Re, uma fórmula prática explícita para
é a de Swamee–Jain (é uma aproximação explícita da equação de Colebrook):
Explico: essa fórmula dá um valor muito próximo do que se obteria resolvendo a equação implícita de Colebrook, e é adequada para engenharia de prova sem iteração manual pesada.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula de Swamee–Jain. Primeiro calculamos os termos internos:
Somando:
Agora o logaritmo base 10:
Elevando ao quadrado e usando a fórmula:
Portanto o fator de atrito de Darcy é aproximadamente
.
Passo 7
Calculemos o termo dinâmico
que aparece na fórmula de Darcy–Weisbach:
Observação: esse termo tem dimensão de comprimento (é uma “carga” ou “head” cinemática).
Passo 8
Agora aplicamos Darcy–Weisbach para obter a perda de carga total no tubo:
Substituindo
,
e
:
Passo 9
Interpretação física e conclusão: o tubo é horizontal e desprezamos perdas localizadas; os tanques são grandes (superfícies livres com velocidade desprezível), então a diferença de energia por unidade de peso entre as superfícies livres é igual à perda de carga no tubo. Ou seja, a diferença de elevação necessária entre as superfícies livres é numericamente igual a
. Logo a diferença de elevação entre as superfícies livres dos tanques é aproximadamente
.