14.14 Água escoa de um grande tanque para um outro a uma taxa de 0,50 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{s} através de um tubo horizontal de ferro fundido de 3 in de diâmetro e 200 ft de comprimento. Se as perdas de carga localizadas forem desprezadas, determine a diferença na elevação das superfícies livres dos tanques.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de elevação entre as superfícies livres de dois tanques conectados por um tubo horizontal, sabendo que a água escoa de um tanque para o outro à vazão Q=0,50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s}, pelo tubo de diâmetro 3\\ \mathrm{in} e comprimento 200\\ \mathrm{ft}. Foi dito para desprezar perdas localizadas. Dados extraídos do enunciado:
Q = 0,50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{s},
D = 3\\ \mathrm{in} = \frac{3}{12}=0,25\\ \mathrm{ft},
L = 200\\ \mathrm{ft}.
O que precisamos encontrar: a diferença de elevação entre as superfícies livres dos tanques (ou seja, a perda de carga total exigida para manter essa vazão), desprezando perdas localizadas.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a área da secção transversal do tubo e a velocidade média do escoamento. A área de seção transversal de um tubo circular é dada por
A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro interno. Substituindo D=0,25\\ \mathrm{ft}:
A=\frac{\pi(0,25)^2}{4}=\pi\cdot 0,015625\approx 0,04909\\ \mathrm{ft}^2.
Agora usamos a equação da continuidade (vazão volumétrica = área × velocidade média) para obter a velocidade média v:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,50}{0,04909}\approx 10,18\\ \mathrm{ft}/\mathrm{s}.
Explicação curta: isso significa que a água, em média, atravessa a seção do tubo a cerca de 10{,}18\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 3

Precisamos saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento) para escolher como determinar a perda por atrito. Para isso calculamos o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática da água. Para água a temperatura ambiente usaremos o valor típico
\nu \approx 1{,}13\times 10^{-5}\\ \mathrm{ft}^2/\mathrm{s}.
Substituindo v=10{,}18\\ \mathrm{ft/s} e D=0{,}25\\ \mathrm{ft}:
\mathrm{Re}=\frac{10{,}18\cdot 0{,}25}{1{,}13\times 10^{-5}}\approx \frac{2{,}545}{1{,}13\times10^{-5}}\approx 2{,}25\times 10^{5}.
Comentário: como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é claramente turbulento.

Passo 4

Para tubos de ferro fundido precisamos considerar a rugosidade absoluta \varepsilon. Um valor típico para ferro fundido é
\varepsilon \approx 0{,}00085\\ \mathrm{ft}.
A rugosidade relativa é \varepsilon/D:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00085}{0{,}25}=0{,}0034.
Essa rugosidade relativa indica um escoamento turbulento com efeito da rugosidade — portanto devemos usar a fórmula de Darcy–Weisbach junto com uma expressão para o fator de atrito na parede.

Passo 5

A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito (em \mathrm{ft}),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do tubo ( \mathrm{ft}),
  • D é o diâmetro ( \mathrm{ft}),
  • v é a velocidade média ( \mathrm{ft/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( g=32{,}2\\ \mathrm{ft/s}^2).
Nosso objetivo é calcular f e daí h_f. Como o escoamento é turbulento e temos rugosidade e Re, uma fórmula prática explícita para f é a de Swamee–Jain (é uma aproximação explícita da equação de Colebrook):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Explico: essa fórmula dá um valor muito próximo do que se obteria resolvendo a equação implícita de Colebrook, e é adequada para engenharia de prova sem iteração manual pesada.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de Swamee–Jain. Primeiro calculamos os termos internos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00085}{3{,}7\cdot 0{,}25}=\frac{0{,}00085}{0{,}925}\approx 0{,}0009189,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(2{,}25\times10^{5})^{0{,}9}}\approx 8{,}74\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}0009189 + 0{,}0000874 \approx 0{,}0010063.
Agora o logaritmo base 10:
\log_{10}(0{,}0010063)\approx -2{,}9973.
Elevando ao quadrado e usando a fórmula:
f=\frac{0{,}25}{(-2{,}9973)^2}=\frac{0{,}25}{8{,}9837}\approx 0{,}0278.
Portanto o fator de atrito de Darcy é aproximadamente f\approx 0{,}0278.

Passo 7

Calculemos o termo dinâmico \dfrac{v^2}{2g} que aparece na fórmula de Darcy–Weisbach:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(10{,}18)^2}{2\cdot 32{,}2}=\frac{103{,}65}{64{,}4}\approx 1{,}61\\ \mathrm{ft}.
Observação: esse termo tem dimensão de comprimento (é uma “carga” ou “head” cinemática).

Passo 8

Agora aplicamos Darcy–Weisbach para obter a perda de carga total no tubo:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Substituindo f=0{,}0278, L/D=200/0{,}25=800 e \dfrac{v^2}{2g}=1{,}61\\ \mathrm{ft}:
h_f \approx 0{,}0278 \times 800 \times 1{,}61 \approx 35{,}8\\ \mathrm{ft}.

Passo 9

Interpretação física e conclusão: o tubo é horizontal e desprezamos perdas localizadas; os tanques são grandes (superfícies livres com velocidade desprezível), então a diferença de energia por unidade de peso entre as superfícies livres é igual à perda de carga no tubo. Ou seja, a diferença de elevação necessária entre as superfícies livres é numericamente igual a h_f. Logo a diferença de elevação entre as superfícies livres dos tanques é aproximadamente 35{,}8\\ \mathrm{ft}.

Resposta

35{,}8\\ \mathrm{ft}

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