14.9 Um fluido viscoso escoa em um tubo de diâmetro 0,10 \mathrm{~m} tal que sua velocidade medida a 0,012 \mathrm{~m} da parede do tubo é 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se o escoamento for laminar, determine a velocidade da linha de centro e a vazão volumétrica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a velocidade na linha de centro do escoamento e a vazão volumétrica, sabendo que o escoamento é laminar e que a velocidade medida a 0,012\\ \mathrm{m} da parede é 0,8\\ \mathrm{m/s}. As informações dadas são:
  • diâmetro do tubo: D=0,10\\ \mathrm{m};
  • distância da parede onde a velocidade foi medida: s=0,012\\ \mathrm{m};
  • velocidade nessa posição: u(s)=0,8\\ \mathrm{m/s};
  • escoamento laminar totalmente desenvolvido (pressuposto implícito).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e simples): para escoamento laminar e totalmente desenvolvido em um tubo cilíndrico (perfil de Poiseuille) a velocidade axial depende apenas da distância radial r ao centro e tem perfil parabólico. A fórmula padrão é
u(r)=u_c\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right),
onde:
  • u(r) é a velocidade a uma distância radial r do centro;
  • u_c é a velocidade na linha de centro (no eixo) — é o que queremos achar;
  • R é o raio do tubo.
Explicação da fórmula: ela vem da solução da equação de Navier–Stokes para escoamento laminar interno e mostra que a velocidade é máxima no centro e diminui quadraticamente até zero na parede ( r=R).

Passo 3

Calcular o raio do tubo e a posição radial correspondente à medida:
R=\frac{D}{2}=\frac{0,10}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
A medida foi dada a s=0,012\\ \mathrm{m} da parede, então a distância radial ao centro é
r=R-s=0,05-0,012=0,038\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Usar a fórmula do perfil para relacionar u(r) e u_c. Temos
u(r)=u_c\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right).
Isolando u_c,
u_c=\frac{u(r)}{1-(r/R)^2}.
Vamos calcular (r/R)^2. Primeiro r/R=0,038/0,05=0,76. Então
\left(\frac{r}{R}\right)^2=0,76^2=0,5776.
Logo o denominador é 1-0,5776=0,4224.

Passo 5

Calcular u_c numericamente, mas mostrando também a forma fracionária para facilitar precisão:
u_c=\frac{0,8}{0,4224}.
Observação exata: 0,76=\tfrac{19}{25}, então (r/R)^2=\tfrac{361}{625} e 1-(r/R)^2=\tfrac{264}{625}. Assim
u_c=0,8\cdot\frac{625}{264}=\frac{0,8\cdot 625}{264}=\frac{500}{264}=\frac{125}{66}\\ \mathrm{m/s}.
Agora a aproximação decimal:
u_c=\frac{125}{66}\approx 1,89394\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora a vazão volumétrica Q. Conceito: vazão é a integral da velocidade sobre a seção transversal:
Q=\iint_{A} u(r)\,dA.
Em coordenadas polares (simetria axial),
Q=2\pi\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.
Substituindo o perfil parabólico u(r)=u_c\left(1-(r/R)^2\right),
Q=2\pi u_c \int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo:
\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr =\int_{0}^{R} r\,dr - \frac{1}{R^2}\int_{0}^{R} r^3\,dr.
Avaliar cada integral:
\int_{0}^{R} r\,dr=\frac{R^2}{2},\qquad \int_{0}^{R} r^3\,dr=\frac{R^4}{4}.
Assim
\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)r\,dr=\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{4}=\frac{R^2}{4}.
Portanto
Q=2\pi u_c\cdot\frac{R^2}{4}=\frac{\pi u_c R^2}{2}.
Observação física útil: a velocidade média \bar{u} numa seção é \bar{u}=Q/(\pi R^2)=u_c/2 para perfil parabólico; isso confirma Q=\pi R^2 (u_c/2).

Passo 8

Substituir u_c=\tfrac{125}{66} e R=0,05\\ \mathrm{m} em forma exata e depois aproximar:
Primeiro calcule o fator \pi R^2/2:
\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi (0,05)^2}{2}=\pi\cdot 0,00125.
Assim
Q=\pi\cdot 0,00125\cdot \frac{125}{66}.
Fazendo simplificação fracionária: 0,00125\cdot 125=0,15625, então
Q=\pi\cdot \frac{0,15625}{66}=\pi\cdot\frac{5}{2112}
(obtivemos \tfrac{5\pi}{2112} m^3/s como forma exata).
Agora a aproximação decimal:
Q=\frac{5\pi}{2112}\approx 0,007436\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 9

Verificação rápida das unidades e da ordem de grandeza: u_c\approx 1,89\\ \mathrm{m/s} é plausível (maior que a velocidade medida próxima à parede), e Q\approx 7,4\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} corresponde a cerca de 7,4\\ \mathrm{L/s}\times 10^{-3} — na prática 0,0074\\ \mathrm{m^3/s}=7,4\\ \mathrm{L/s} é incorreto: atenção — converter corretamente: 1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}, assim 0,007436\\ \mathrm{m^3/s}=7,436\\ \mathrm{L/s}. (Isto confirma que as magnitudes fazem sentido para um tubo de 10 cm com velocidades da ordem de 1 m/s.)

Resposta

u_{\text{centro}}=\dfrac{125}{66}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,89394\\ \mathrm{m/s}\n Q=\dfrac{5\pi}{2112}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0,007436\\ \mathrm{m^3/s}

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