14.9 Um fluido viscoso escoa em um tubo de diâmetro
tal que sua velocidade medida a
da parede do tubo é
. Se o escoamento for laminar, determine a velocidade da linha de centro e a vazão volumétrica.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a velocidade na linha de centro do escoamento e a vazão volumétrica, sabendo que o escoamento é laminar e que a velocidade medida a
da parede é
. As informações dadas são:
- diâmetro do tubo:
; - distância da parede onde a velocidade foi medida:
; - velocidade nessa posição:
; - escoamento laminar totalmente desenvolvido (pressuposto implícito).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e simples): para escoamento laminar e totalmente desenvolvido em um tubo cilíndrico (perfil de Poiseuille) a velocidade axial depende apenas da distância radial
ao centro e tem perfil parabólico. A fórmula padrão é
onde:
-
é a velocidade a uma distância radial do centro; -
é a velocidade na linha de centro (no eixo) — é o que queremos achar; -
é o raio do tubo.
Explicação da fórmula: ela vem da solução da equação de Navier–Stokes para escoamento laminar interno e mostra que a velocidade é máxima no centro e diminui quadraticamente até zero na parede (
).
Passo 3
Calcular o raio do tubo e a posição radial correspondente à medida:
A medida foi dada a
da parede, então a distância radial ao centro é
Passo 4
Usar a fórmula do perfil para relacionar
e
. Temos
Isolando
,
Vamos calcular
. Primeiro
. Então
Logo o denominador é
.
Passo 5
Calcular
numericamente, mas mostrando também a forma fracionária para facilitar precisão:
Observação exata:
, então
e
. Assim
Agora a aproximação decimal:
Passo 6
Agora a vazão volumétrica
. Conceito: vazão é a integral da velocidade sobre a seção transversal:
Em coordenadas polares (simetria axial),
Substituindo o perfil parabólico
,
Passo 7
Calcular a integral passo a passo:
Avaliar cada integral:
Assim
Portanto
Observação física útil: a velocidade média
numa seção é
para perfil parabólico; isso confirma
.
Passo 8
Substituir
e
em forma exata e depois aproximar:
Primeiro calcule o fator :
Primeiro calcule o fator
Assim
Fazendo simplificação fracionária:
, então
(obtivemos
m^3/s como forma exata).
Agora a aproximação decimal:
Agora a aproximação decimal:
Passo 9
Verificação rápida das unidades e da ordem de grandeza:
é plausível (maior que a velocidade medida próxima à parede), e
corresponde a cerca de
— na prática
é incorreto: atenção — converter corretamente:
, assim
. (Isto confirma que as magnitudes fazem sentido para um tubo de 10 cm com velocidades da ordem de 1 m/s.)