14.13 Uma peça de chapa metálica de 3 mm de espessura e 20 mm de comprimento é dobrada em uma matriz em V para um ângulo incluso igual a 60^{\circ} e um raio de curvatura de 7,5 \mathrm{~mm}. O metal tem o limite de escoamento igual 220 MPa e o limite de resistência à tração de 340 MPa . Calcule a força necessária para dobrar a peça, dado que a abertura da matriz tem dimensão de 15 mm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei-os do enunciado):
    • Espessura da chapa: t=3\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento da dobra (comprimento ao longo da aresta onde a força atua): L=20\\ \mathrm{mm}.
    • Abertura da matriz (distância entre os apoios na matriz): V=15\\ \mathrm{mm}.
    • Ângulo incluso final da dobra: 60^\circ (fornecido).
    • Raio de curvatura do chanfro/borda: R=7{,}5\\ \mathrm{mm}.
    • Limite de escoamento (yield): \sigma_y=220\\ \mathrm{MPa}=220\\ \mathrm{N/mm^2}.
    • Limite de resistência à tração: \sigma_u=340\\ \mathrm{MPa} (fornecido, não é usado diretamente para força de conformação, mas serve para verificação de ruptura).
  • O que se pede:
    • Calcular a força necessária para dobrar a peça (força total aplicada pelo punção sobre a chapa).

Passo 2

Modelo físico e abordagem (sem resolver ainda, só explicando a ideia).
  • Ao dobrar numa matriz em V com um punção central, podemos modelar a chapa localmente como uma viga simplesmente apoiada nas duas bordas da matriz e carregada no centro pelo punção. A distância entre os apoios é V.
  • Para esse sistema, a máxima flexão (momento interno máximo) ocorre no meio e, para uma carga concentrada P aplicada no centro, o momento máximo por unidade de largura é
m=\frac{P}{4}\cdot V,
se trabalharmos com P por unidade de comprimento. Aqui é conveniente trabalhar com forças por unidade de comprimento (N/mm) e depois multiplicar por L para obter a força total.
  • Para dobrar o metal é preciso atingir um momento capaz de escoar a seção da chapa: usaremos o momento plástico por unidade de largura m_p associado ao limite de escoamento \sigma_y. A partir destes dois relacionamentos veremos qual P é necessário.

Passo 3

Cálculo do momento plástico por unidade de largura m_p (aula rápida sobre por que usar esta expressão).
  • Imagine a seção transversal da chapa com largura unitária (1 mm). No estado totalmente plástico, a tensão na metade superior vale aproximadamente \sigma_y (compressão) e na metade inferior vale \sigma_y (tração), com a linha neutra aproximadamente no centro (para chapa fina).
  • A força resultante de cada metade (compressão ou tração) por unidade de largura é \sigma_y vezes a área da metade: \sigma_y\cdot (t/2).
  • O braço entre as forças de compressão e tração (distância entre os centros das duas áreas) é aproximadamente t/2.
  • Assim, o momento plástico por unidade de largura é
m_p=\sigma_y\cdot\left(\frac{t}{2}\right)\cdot\left(\frac{t}{2}\right)=\sigma_y\frac{t^2}{4}.
  • Observação didática: para se lembrar, a seção retangular unitária tem módulo plástico Z_p=\dfrac{t^2}{4} e o momento plástico é \sigma_y Z_p. A unidade de m_p é \mathrm{N\cdot mm} por mm de largura (ou seja, \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}/\mathrm{mm}).

Passo 4

Relação entre momento necessário e força na matriz (juntando as expressões).
  • Para que a seção escoe, o momento no meio deve ser pelo menos m_p. Do equilíbrio da viga simplesmente apoiada com carga no centro, temos, por unidade de largura, momento máximo
m=\frac{P}{4}\,V,
onde P é a força por unidade de largura (unidade \mathrm{N/mm}).
  • Igualando m a m_p para obter a força de escoamento por unidade de largura:
\frac{P}{4}\,V = m_p = \sigma_y\frac{t^2}{4}.
  • Simplificando (os fatores 4 cancelam):
P=\frac{\sigma_y\,t^2}{V}.
  • Essa P é a força por unidade de largura. A força total que o punção precisa aplicar na peça de comprimento L é
F_{\text{total}} = P\cdot L = \frac{\sigma_y\,t^2\,L}{V}.
  • Observação didática: essa fórmula é uma aproximação prática frequentemente usada para dobra em matriz em V, baseada em atingir o momento plástico na seção central. Ela usa \sigma_y porque o escoamento define o início da conformação plástica. A dependência é F\propto t^2 (espessura domina) e inversa em V (abertura maior reduz força).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (tudo em unidades consistentes \mathrm{N}, \mathrm{mm}).
  • Primeiro calcule t^2:
t^2 = (3\\ \mathrm{mm})^2 = 9\\ \mathrm{mm^2}.
  • Calcule a força por unidade de largura P:
P=\frac{\sigma_y\,t^2}{V}=\frac{220\\ \mathrm{N/mm^2}\times 9\\ \mathrm{mm^2}}{15\\ \mathrm{mm}}.
Calcule numericamente:
P=\frac{220\times 9}{15}=\frac{1980}{15}=132\\ \mathrm{N/mm}.
  • Agora a força total sobre o comprimento L=20\\ \mathrm{mm}:
F_{\text{total}}=P\cdot L = 132\\ \mathrm{N/mm}\times 20\\ \mathrm{mm}=2640\\ \mathrm{N}.
  • Em unidades mais usualmente usadas para máquinas, converte-se para quilonewtons:
F_{\text{total}}=2640\\ \mathrm{N}=2{,}64\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Verificação rápida e comentários práticos (motivação e interpretação):
  • A fórmula usou \sigma_y=220\\ \mathrm{MPa}. O limite de resistência à tração \sigma_u=340\\ \mathrm{MPa} é maior, então, em princípio, a peça não deve romper apenas ao atingir escoamento; contudo, em dobras muito fechadas ou com raio pequeno pode ocorrer fissuração por deformação localizada — por isso o raio R=7{,}5\\ \mathrm{mm} e a relação R/t são importantes em projeto prático. Aqui R/t=7{,}5/3=2{,}5, valor que sugere curvatura moderada (quanto menor R/t, maior a probabilidade de ruptura).
  • Nota sobre o ângulo de 60^\circ: a estimativa acima fornece a força para iniciar e manter o escoamento plástico necessário para dobrar; na prática, a força instantânea pode variar com o ângulo durante o processo, mas a ordem de grandeza e o cálculo baseado no momento plástico são o procedimento padrão para dimensionar a prensa/máquina.

Resposta

F_{\text{total}} = 2640\\ \mathrm{N} = 2{,}64\\ \mathrm{kN}

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