14.10 Uma operação de dobramento deve ser realizada em uma chapa de aço laminado a frio com espessura igual a 4,0 \mathrm{~mm}, largura igual a 25 mm e comprimento de 100 mm . A chapa é dobrada em torno da direção da sua largura e, portanto, o raio de curvatura é igual a 25 mm . A peça de chapa metálica resultante do processo tem ângulo agudo de 30^{\circ} e raio de curvatura de 6 mm . Determine (a) a tolerância de curvatura e (b) o comprimento do eixo neutro da peça após o dobramento. (Dica: o comprimento do eixo neutro antes do dobramento é igual a 100 mm ).

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado). Dados:
  • espessura: t=4{,}0\\ \text{mm}.
  • largura: 25\\ \text{mm} (informação de geometria da chapa).
  • comprimento total da chapa (antes do dobramento, ao longo do eixo neutro): 100\\ \text{mm} (o enunciado dá isso como dica).
  • raio de curvatura inicial (da conformação / condição inicial): R_i=25\\ \text{mm} (o enunciado afirma que, ao dobrar em torno da largura, o raio de curvatura é igual a 25\\ \text{mm}).
  • peça resultante tem ângulo agudo de 30^\circ e raio de curvatura final R_f=6\\ \text{mm}.
O enunciado pede:
(a) determinar a “tolerância de curvatura” (vamos definir precisamente o que isso significa e como calculá-la);
(b) determinar o comprimento do eixo neutro da peça após o dobramento.
Dica do enunciado: o comprimento do eixo neutro antes do dobramento é 100\\ \text{mm}.

Passo 2

Entender o que é “curvatura” e qual “tolerância” faz sentido aqui (aula rápida e intuitiva).
  • Curvatura de uma circunferência é o inverso do seu raio. Se uma curva tem raio R, sua curvatura é \kappa=\dfrac{1}{R}. Unidade: \text{mm}^{-1}.
  • Quando um processo muda o raio de curvatura de uma peça de R_i para R_f, a mudança de curvatura natural a medir é a diferença \Delta\kappa=\left|\kappa_f-\kappa_i\right|=\left|\dfrac{1}{R_f}-\dfrac{1}{R_i}\right|.
    Isso é o que vamos interpretar como “tolerância de curvatura”: a variação de curvatura exigida/ocorrida no processo. É a definição mais direta e física: quanto a curvatura foi alterada.

Passo 3

Calcular numericamente a tolerância de curvatura \Delta\kappa usando a definição do passo anterior.
\kappa_i=\frac{1}{R_i}=\frac{1}{25}\\ \text{mm}^{-1}, \qquad \kappa_f=\frac{1}{R_f}=\frac{1}{6}\\ \text{mm}^{-1}.
\Delta\kappa=\left|\kappa_f-\kappa_i\right| =\left|\frac{1}{6}-\frac{1}{25}\right| =\left|\frac{25-6}{150}\right| =\frac{19}{150}\\ \text{mm}^{-1}.
Agora o valor decimal (para ficar prático):
\Delta\kappa=\frac{19}{150}\approx0{,}126666\\ \text{mm}^{-1}.

Passo 4

Explicar o conceito de eixo neutro e por que o comprimento do eixo neutro costuma ser invariante no dobramento (aula prática).
  • Em flexão pura de uma lâmina homogênea, as fibras do material próximas à superfície interna se comprimem, as externas se esticam, e existe uma linha ao longo da espessura denominada eixo neutro onde a deformação longitudinal é nula.
  • Por definição, a fibra no eixo neutro não se alonga nem se contrai durante a flexão (deformação longitudinal zero). Logo, o comprimento da linha que segue o eixo neutro NÃO muda com o dobramento (na idealização de flexão sem alongamento plástico longitudinal do eixo neutro).
  • Portanto, se o enunciado diz que o comprimento do eixo neutro antes do dobramento é 100\\ \text{mm}, então — sob as hipóteses usuais de flexão — o comprimento do eixo neutro após o dobramento permanece 100\\ \text{mm}.
Vou mostrar também como relacionar isso com o raio do eixo neutro quando a região de dobra forma um arco (info útil para poder pensar geometricamente):
  • Se uma porção da chapa é curvada em um arco de ângulo \theta (em radianos) com raio do eixo neutro R_n, o comprimento dessa porção do eixo neutro é
L_n = R_n\,\theta.
  • O raio do eixo neutro, para uma dobra onde o raio interno conhecido é R_f e assumindo que o eixo neutro está na metade da espessura (hipótese clássica, K-factor igual a 0{,}5), é
R_n = R_f + \frac{t}{2}.
(Ex.: aqui R_n=6 + \tfrac{4}{2}=6+2=8\\ \text{mm}.)

Passo 5

Aplicar os conceitos ao caso concreto e verificar consistência (passo a passo numérico e interpretação).
  • A variação de curvatura já foi calculada no passo 3: \Delta\kappa=\dfrac{19}{150}\\ \text{mm}^{-1}\approx0{,}1267\\ \text{mm}^{-1}.
  • O comprimento do eixo neutro após o dobramento, pela propriedade física do eixo neutro (nenhuma deformação longitudinal nessa linha), é igual ao comprimento antes do dobramento:
L_{n,\text{após}}=L_{n,\text{antes}}=100\\ \text{mm}.ó
  • (Comentário extra de verificação): se for útil conhecer o raio do eixo neutro e o comprimento da porção curva do eixo neutro correspondente ao ângulo de 30^\circ, pode-se calcular:
\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}\\ \text{rad}, \qquad R_n=R_f+\frac{t}{2}=6+2=8\\ \text{mm},
L_{\text{arco do eixo neutro}}=R_n\,\theta=8\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}\\ \text{mm}\approx4{,}189\\ \text{mm}.
Isso é apenas o comprimento da parte curva (o arco) correspondente ao ângulo dado — não o comprimento total do eixo neutro da peça inteira. O enunciado deu o comprimento total do eixo neutro antes da dobra como 100\\ \text{mm}; esse total se conserva.

Resposta

(a) \Delta\kappa=\dfrac{19}{150}\\ \text{mm}^{-1}\approx0{,}1267\\ \text{mm}^{-1}
(b) 100\\ \text{mm}

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