Se o motor exerce uma força F=\left(600+2 s^{2}\right) \mathrm{N} sobre o cabo, determine a velocidade da caixa de 100 kg quando ela é içada para s=15 \mathrm{~m}. A caixa está inicialmente em repouso no solo.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a velocidade da caixa quando ela está em s=15\\ \mathrm{m}, sabendo que a caixa tem massa 100\\ \mathrm{kg} e está inicialmente em repouso no solo. As informações dadas são:
F(s)=600+2s^{2}\\ \text{(N)},\qquad m=100\\ \mathrm{kg},\qquad s_{\text{inicial}}=0,\qquad s_{\text{final}}=15\\ \mathrm{m},
e tomo a aceleração da gravidade como g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. A caixa é içada no sentido positivo de s.

Passo 2

Vou usar o teorema trabalho–energia, que diz que o trabalho líquido realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética. Em fórmulas:
W_{\text{líquido}}=\Delta K=\frac{1}{2}m v^{2}-\frac{1}{2}m v_{0}^{2}.í
Como a caixa parte do repouso, v_{0}=0, então
W_{\text{líquido}}=\frac{1}{2}m v^{2}.í
Explico: W_{\text{líquido}}í é a soma algébrica dos trabalhos de todas as forças que atuam enquanto a caixa se desloca de 0 a 15\\ \mathrm{m}; \frac{1}{2}m v^{2} é a energia cinética final.

Passo 3

Calculo o trabalho realizado pela força do motor F(s). Trabalho de uma força variável no deslocamento de 0 a 15 é a integral:
W_{F}=\int_{0}^{15}\bigl(600+2s^{2}\bigr)\,ds.
Integro termo a termo: uma primitiva de 600 é 600s e uma primitiva de 2s^{2} é \tfrac{2}{3}s^{3}. Assim,
W_{F}=\left[600s+\tfrac{2}{3}s^{3}\right]_{0}^{15}.

Passo 4

Avalio a expressão numérica do trabalho do motor:
600\cdot 15 = 9000,
15^{3}=3375,\qquad \tfrac{2}{3}\cdot 3375 = 2\cdot 1125 = 2250.
Portanto
W_{F}=9000+2250=11250\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculo o trabalho da força peso. A força peso é mg para baixo; para deslocamento para cima s o trabalho do peso é negativo e vale
W_{g}=-m g s.
Substituindo m=100\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e s=15\\ \mathrm{m},
W_{g}=-100\cdot 9{,}8\cdot 15=-14700\\ \mathrm{J}.
Explicação do sinal: o peso faz trabalho negativo porque sua direção é oposta ao deslocamento.

Passo 6

Agora somo os trabalhos para obter o trabalho líquido:
W_{\text{líquido}}=W_{F}+W_{g}=11250+(-14700)=-3450\\ \mathrm{J}.í
Interpretação física: o trabalho líquido acumulado ao levar a caixa de 0 até 15\\ \mathrm{m} é negativo; pelo teorema trabalho–energia isso implicaria uma variação negativa da energia cinética.

Passo 7

Aplicando o teorema trabalho–energia:
\frac{1}{2}m v^{2}=W_{\text{líquido}}=-3450\\ \mathrm{J}.í
Isolando v^{2}:
v^{2}=\frac{2W_{\text{líquido}}}{m}=\frac{2\cdot(-3450)}{100}=-69.í
Como v^{2} ficou negativo, não existe velocidade real que satisfaça essa igualdade.

Passo 8

Conclusão física e interpretação didática: o resultado v^{2}=-69 mostra que, nas condições dadas (a força dada por F(s) e partindo do repouso), o motor não fornece trabalho suficiente para vencer o peso ao longo dos primeiros 15\\ \mathrm{m}. Portanto a caixa não pode ser içada até s=15\\ \mathrm{m} partindo do repouso apenas com a força F(s)=600+2s^{2}. Em outras palavras, não há velocidade real em s=15\\ \mathrm{m} para essa trajetória a partir do repouso; para que a caixa alcance 15\\ \mathrm{m} seria preciso trabalho adicional (por exemplo um empurrão inicial) ou uma força maior no início.

Resposta

A caixa não alcança s=15\\ \mathrm{m} partindo do repouso: o trabalho líquido é W_{\text{líquido}}=-3450\\ \mathrm{J}í, o que leva a v^{2}=-69 (não há v real).

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