Se o motor exerce uma força
sobre o cabo, determine a velocidade da caixa de 100 kg quando ela é içada para
. A caixa está inicialmente em repouso no solo.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a velocidade da caixa quando ela está em
, sabendo que a caixa tem massa
e está inicialmente em repouso no solo. As informações dadas são:
e tomo a aceleração da gravidade como
. A caixa é içada no sentido positivo de
.
Passo 2
Vou usar o teorema trabalho–energia, que diz que o trabalho líquido realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética. Em fórmulas:
Como a caixa parte do repouso,
, então
Explico:
é a soma algébrica dos trabalhos de todas as forças que atuam enquanto a caixa se desloca de
a
;
é a energia cinética final.
Passo 3
Calculo o trabalho realizado pela força do motor
. Trabalho de uma força variável no deslocamento de
a
é a integral:
Integro termo a termo: uma primitiva de
é
e uma primitiva de
é
. Assim,
Passo 4
Avalio a expressão numérica do trabalho do motor:
Portanto
Passo 5
Calculo o trabalho da força peso. A força peso é
para baixo; para deslocamento para cima
o trabalho do peso é negativo e vale
Substituindo
,
e
,
Explicação do sinal: o peso faz trabalho negativo porque sua direção é oposta ao deslocamento.
Passo 6
Agora somo os trabalhos para obter o trabalho líquido:
Interpretação física: o trabalho líquido acumulado ao levar a caixa de
até
é negativo; pelo teorema trabalho–energia isso implicaria uma variação negativa da energia cinética.
Passo 7
Aplicando o teorema trabalho–energia:
Isolando
:
Como
ficou negativo, não existe velocidade real que satisfaça essa igualdade.
Passo 8
Conclusão física e interpretação didática: o resultado
mostra que, nas condições dadas (a força dada por
e partindo do repouso), o motor não fornece trabalho suficiente para vencer o peso ao longo dos primeiros
. Portanto a caixa não pode ser içada até
partindo do repouso apenas com a força
. Em outras palavras, não há velocidade real em
para essa trajetória a partir do repouso; para que a caixa alcance
seria preciso trabalho adicional (por exemplo um empurrão inicial) ou uma força maior no início.
Resposta
A caixa não alcança
partindo do repouso: o trabalho líquido é
, o que leva a
(não há
real).