14-22 Packages having a weight of 50 lb are delivered to the chute at v_{A}=3 \mathrm{ft} / \mathrm{s} using a conveyor belt. Determine their speeds when they reach points B, C, and D. Also calculate the normal force of the chute on the packages at B and C. Neglect friction and the size of the packages

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei os valores geométricos mostrados na figura):
  • Dados fornecidos:
    • Peso do pacote: 50\\ \mathrm{lb}.
    • Velocidade na entrada A: v_A=3\\ \mathrm{ft/s}.
    • Na figura há trechos com comprimentos/raio 5\\ \mathrm{ft} e ângulos de 30^\circ (usei esses valores da imagem).
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar as velocidades nos pontos B, C e D.
    2. Calcular a força normal do escorregador sobre o pacote em B e em C.
  • Observações extraídas da imagem (usadas na resolução): o arco do chuto tem raio 5\\ \mathrm{ft} entre A e B, o trecho inclinado B C tem comprimento 5\\ \mathrm{ft} e inclinação 30^\circ, e a queda vertical total de A até C/D é 5\\ \mathrm{ft}. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conversão do peso em massa (para usar as equações com g):
  • O peso W e a massa m estão relacionados por W = m g, onde g=32{,}2\\ \mathrm{ft/s^2}.
  • Assim
m=\frac{W}{g}=\frac{50}{32{,}2}\\ \mathrm{slug}\approx1{,}5528\\ \mathrm{slug}.

Passo 3

Usar conservação de energia (atrito desprezado) para relacionar velocidades entre dois pontos com diferença de cota.
  • A ideia física: a soma da energia cinética e potencial mecânica é constante. Em forma prática, para uma queda vertical \Delta y (positiva para queda), temos a relação
v^2 = v_A^2 + 2 g\,\Delta y,
onde v é a velocidade no ponto mais baixo e v_A a velocidade inicial.
  • Definição de \Delta y: tomamos \Delta y como a queda vertical entre os pontos (ft).

Passo 4

Calcular v_B.
  • Pelo desenho e medidas da figura: a queda vertical de A até B é \Delta y_{AB}=2{,}5\\ \mathrm{ft} (expliquei na Passo 1 que esse valor foi retirado da figura: arco de raio 5\\ \mathrm{ft} que leva a esse deslocamento vertical).
  • Aplicando conservação de energia:
v_B^2 = v_A^2 + 2 g\,\Delta y_{AB} = 3^2 + 2\cdot32{,}2\cdot2{,}5.
  • Cálculo:
v_B^2 = 9 + 161 = 170 \quad\Rightarrow\quad v_B=\sqrt{170}\\ \mathrm{ft/s}\approx13{,}04\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 5

Calcular v_C e v_D.
  • Pela figura a queda vertical total de A até C (e portanto até D, pois C e D estão na mesma cota) é \Delta y_{AC}=5{,}0\\ \mathrm{ft}.
  • Assim
v_C^2 = v_A^2 + 2 g\,\Delta y_{AC} = 3^2 + 2\cdot32{,}2\cdot5 = 9 + 322 = 331,
v_C=\sqrt{331}\\ \mathrm{ft/s}\approx18{,}19\\ \mathrm{ft/s}.
  • Não há atrito e C para D é trecho horizontal (ou sem perda de energia), então
v_D = v_C \approx 18{,}19\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 6

Cálculo da força normal em B (ponto sobre o arco circular).
  • Física/ideia: num ponto de um arco circular de raio r a força centrípeta requerida é m v^2/r. Na direção radial (para o centro do arco) somam-se as componentes da normal N e do peso W.
  • Geometria: para o arco de raio r=5\\ \mathrm{ft} o ponto B corresponde a um ângulo \varphi=60^\circ medido desde o topo (isso decorre de \Delta y_{AB}=r(1-\cos\varphi)=2{,}5, daí \cos\varphi=0{,}5 e \varphi=60^\circ; esse passo usa os dados da figura).
  • Somando forças na direção radial (positiva em direção ao centro) obtém-se
N + W\cos\varphi = \frac{m v_B^2}{r}.
  • Portanto
N_B = \frac{m v_B^2}{r} - W\cos\varphi.
  • Substituindo números ( m\approx1{,}5528\\ \mathrm{slug}, v_B^2=170, r=5\\ \mathrm{ft}, W=50\\ \mathrm{lb}, \cos60^\circ=0{,}5):
\frac{m v_B^2}{r}=\frac{1{,}5528\cdot170}{5}\approx52{,}795, \qquad W\cos60^\circ=50\cdot0{,}5=25.
N_B\approx52{,}795-25=27{,}795\\ \mathrm{lb}\approx27{,}8\\ \mathrm{lb}.

Passo 7

Cálculo da força normal em C (trecho inclinado reto, ângulo 30^\circ).
  • Física/ideia: num plano inclinado retilíneo sem aceleração perpendicular ao plano, a soma das forças na direção normal é zero; portanto a reação normal é simplesmente a componente do peso perpendicular ao plano.
  • A componente do peso perpendicular ao plano é W\cos30^\circ. Assim
N_C = W\cos30^\circ = 50\cdot\cos30^\circ.
  • Cálculo:
\cos30^\circ\approx0{,}866025,\qquad N_C\approx50\cdot0{,}866025\approx43{,}301\\ \mathrm{lb}\approx43{,}3\\ \mathrm{lb}.

Resposta

v_B = 13{,}04\\ \mathrm{ft/s}
v_C = 18{,}19\\ \mathrm{ft/s}
v_D = 18{,}19\\ \mathrm{ft/s}
N_B = 27{,}8\\ \mathrm{lb}
N_C = 43{,}3\\ \mathrm{lb}

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