14-22 Packages having a weight of 50 lb are delivered to the chute at
using a conveyor belt. Determine their speeds when they reach points
, and D. Also calculate the normal force of the chute on the packages at
and
. Neglect friction and the size of the packages
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (peguei os valores geométricos mostrados na figura):
- Dados fornecidos:
- Peso do pacote:
. - Velocidade na entrada
: . - Na figura há trechos com comprimentos/raio
e ângulos de (usei esses valores da imagem).
- Peso do pacote:
- O que o enunciado pede:
- Determinar as velocidades nos pontos
, e . - Calcular a força normal do escorregador sobre o pacote em
e em .
- Determinar as velocidades nos pontos
- Observações extraídas da imagem (usadas na resolução): o arco do chuto tem raio
entre e , o trecho inclinado – tem comprimento e inclinação , e a queda vertical total de até é . A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Conversão do peso em massa (para usar as equações com
):
- O peso
e a massa estão relacionados por , onde . - Assim
Passo 3
Usar conservação de energia (atrito desprezado) para relacionar velocidades entre dois pontos com diferença de cota.
- A ideia física: a soma da energia cinética e potencial mecânica é constante. Em forma prática, para uma queda vertical
(positiva para queda), temos a relação
onde
é a velocidade no ponto mais baixo e
a velocidade inicial.
- Definição de
: tomamos como a queda vertical entre os pontos (ft).
Passo 4
Calcular
.
- Pelo desenho e medidas da figura: a queda vertical de
até é (expliquei na Passo 1 que esse valor foi retirado da figura: arco de raio que leva a esse deslocamento vertical). - Aplicando conservação de energia:
- Cálculo:
Passo 5
Calcular
e
.
- Pela figura a queda vertical total de
até (e portanto até , pois e estão na mesma cota) é . - Assim
- Não há atrito e
para é trecho horizontal (ou sem perda de energia), então
Passo 6
Cálculo da força normal em
(ponto sobre o arco circular).
- Física/ideia: num ponto de um arco circular de raio
a força centrípeta requerida é . Na direção radial (para o centro do arco) somam-se as componentes da normal e do peso . - Geometria: para o arco de raio
o ponto corresponde a um ângulo medido desde o topo (isso decorre de , daí e ; esse passo usa os dados da figura). - Somando forças na direção radial (positiva em direção ao centro) obtém-se
- Portanto
- Substituindo números (
, , , , ):
Passo 7
Cálculo da força normal em
(trecho inclinado reto, ângulo
).
- Física/ideia: num plano inclinado retilíneo sem aceleração perpendicular ao plano, a soma das forças na direção normal é zero; portanto a reação normal é simplesmente a componente do peso perpendicular ao plano.
- A componente do peso perpendicular ao plano é
. Assim
- Cálculo: