1. Um pontalete de alumínio tem seção transversal conhecida como chapéu de fundo. Localize o centróide \bar{y} de sua área. Cada parte constituinte tem espessura de 10 mm . Despreze as pequenas deformações na quina do material.
Resposta: \bar{y}=53,0 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede para localizar o centróide \bar{y} da área da seção “chapéu de fundo”. Informações fornecidas (peguei estes números da imagem):
  • Espessura de cada parte: t=10\\ \mathrm{mm}.
  • Largura da alma (fundo): 80\\ \mathrm{mm}.
  • Extensão horizontal das abas superiores: 30\\ \mathrm{mm} cada.
  • Altura total da seção (do topo das abas até a face externa do fundo): 100\\ \mathrm{mm}.
  • Desprezar as pequenas deformações nas quinas.
O que se pede explicitamente:
  • Determinar o valor numérico de \bar{y} (localização vertical do centróide da área).

Passo 2

Escolha de referência e fórmula que vamos usar. Vou medir \bar{y} a partir da face superior da seção (origem y=0 no topo) com y positivo para baixo — isso é apenas uma escolha de referência para calcular de forma direta; o resultado pode ser interpretado conforme essa referência.
Regra para centróide de áreas compostas (aula rápida): se uma área é formada por várias partes retangulares simples, o centróide vertical \bar{y} é dado por
\bar{y}=\frac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i},
onde:
  • A_i é a área da i-ésima parte;
  • y_i é a coordenada vertical do centróide dessa parte medida desde a origem escolhida;
  • a soma no numerador é a soma dos momentos estáticos A_i y_i;
  • o denominador é a área total A=\sum_i A_i.
Explicando em miúdos: calcular a área e a posição do centro de cada pedaço, multiplicar área × posição, somar tudo e dividir pela área total. É como uma média ponderada das posições, onde o peso é a área.

Passo 3

Identificar as partes retangulares (cada uma com espessura t=10\\ \mathrm{mm}) e calcular suas áreas. A seção tem simetria lateral, então temos:
  • 1 fundo horizontal (chamarei de “fundo”),
  • 2 almas verticais (as duas paredes verticais),
  • 2 abas superiores (as duas partes inclinadas tratadas como retângulos de espessura t).
Cálculos das áreas (todas em \mathrm{mm}^2):
  • Área do fundo: A_{\text{fundo}} = 80 \times 10 = 800.
  • Área de cada alma vertical: altura útil da alma = total menos espessuras das abas e do fundo. A partir da figura a altura entre as faces interiores das abas é 100 - 2\cdot 10 = 80\\ \mathrm{mm}. Então A_{\text{alma}} = 80 \times 10 = 800.Como há duas almas: A_{\text{almas tot}} = 2\cdot 800 = 1600.
  • Área de cada aba superior: A_{\text{aba}} = 30 \times 10 = 300.Duas abas: A_{\text{abas tot}} = 2\cdot 300 = 600.
Área total:
A = A_{\text{fundo}} + A_{\text{almas tot}} + A_{\text{abas tot}} = 800 + 1600 + 600 = 3000\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Determinar a coordenada vertical y_i do centróide de cada peça, sempre medida a partir do topo (origem y=0 no topo, sentido para baixo).
  • Abas superiores: cada aba tem espessura 10\\ \mathrm{mm} ocupando de y=0 a y=10. O centro da aba está no meio dessa espessura, portanto
    y_{\text{aba}} = \frac{10}{2} = 5\\ \mathrm{mm}.
  • Almas verticais: começam imediatamente abaixo das abas, isto é, de y=10 até y=10+80=90. A altura da alma é 80\\ \mathrm{mm}, logo o centro fica a 40\\ \mathrm{mm} abaixo do início dela, portanto
    y_{\text{alma}} = 10 + \frac{80}{2} = 10 + 40 = 50\\ \mathrm{mm}.
  • Fundo (fundo horizontal): é a placa inferior de espessura 10\\ \mathrm{mm}, que ocupa de y=90 até y=100. O centro do fundo fica a 5\\ \mathrm{mm} acima da face inferior, medido a partir do topo:
    y_{\text{fundo}} = 90 + \frac{10}{2} = 90 + 5 = 95\\ \mathrm{mm}.
Resumo das posições (todas em \mathrm{mm}, desde o topo):
y_{\text{aba}}=5,\qquad y_{\text{alma}}=50,\qquad y_{\text{fundo}}=95.

Passo 5

Calcular os momentos estáticos A_i y_i de cada conjunto (lembrando multiplicar pela quantidade quando houver duas peças iguais).
  • Momentos das abas (duas abas): \sum A_{\text{aba}} y_{\text{aba}} = 2\cdot(300 \times 5) = 2\cdot 1500 = 3000.
  • Momentos das almas (duas almas): \sum A_{\text{alma}} y_{\text{alma}} = 2\cdot(800 \times 50) = 2\cdot 40000 = 80000.
  • Momento do fundo: A_{\text{fundo}}\, y_{\text{fundo}} = 800 \times 95 = 76000.
Somando todos os momentos:
\sum A_i y_i = 3000 + 80000 + 76000 = 159000\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 6

Aplicar a fórmula do centróide:
\bar{y}=\frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}=\frac{159000}{3000}=53{,}0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: esse valor significa que o centróide da área está a 53{,}0\\ \mathrm{mm} abaixo do topo da seção (lembrar que escolhemos a origem no topo, sentido positivo para baixo).

Resposta

53{,}0\\ \mathrm{mm}

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