14.53)-- PC CALC Umapiscina tem 5,0 \mathrm{~m} de comprimento, 4,0 \mathrm{~m} de largura e 3,0 \mathrm{~m} de profundidade. Determine a força exercida pela água sobre (a) o fundo da piscina; (b) ambas as extremidades da piscina. (Dica: calcule a força que atua sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a extremidade da piscina.) Despreze a força produzida pela pressão do ar.

Passo 1

O enunciado fornece as dimensões da piscina e pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • Comprimento da piscina: 5,0\\ \mathrm{m}.
  • Largura da piscina: 4,0\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade da piscina: 3,0\\ \mathrm{m}.
Perguntas pedidas:
(a) Determinar a força exercida pela água sobre o fundo da piscina.
(b) Determinar a força exercida pela água sobre ambas as extremidades da piscina (ou seja, sobre as duas paredes verticais das extremidades ao longo do comprimento).
Observação geométrica que vou usar (sem resolver ainda): o fundo é um retângulo de área 5,0\times4,0\\ \mathrm{m}^2. Cada extremidade é um retângulo vertical de largura igual à largura da piscina 4,0\\ \mathrm{m} e altura igual à profundidade 3,0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito básico (pressão hidrostática) — aula rápida e suave: a pressão exercida por um fluido em repouso a uma profundidade h é dada por
p(h)=\rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (para água doce usa-se \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade (aqui usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • h é a profundidade medida a partir da superfície livre até o ponto considerado.
Explicação do porquê (curta): a pressão cresce linearmente com a profundidade porque cada camada de água exerce o peso sobre as camadas abaixo; o peso por unidade de área de uma coluna de fluido de altura h é \rho g h, por isso a pressão é essa.
Força sobre uma superfície plana pequena: a força normal numa pequena área \mathrm{d}A é \mathrm{d}F = p\,\mathrm{d}A. Se a pressão varia sobre a superfície, soma-se (integra-se) essas contribuições.

Passo 3

Força sobre o fundo da piscina (item a) — passo a passo prático:
  • O fundo está totalmente a profundidade h=3,0\\ \mathrm{m} (toda a sua superfície tem a mesma profundidade), então a pressão sobre todo o fundo é uniforme e vale
p_{\text{fundo}}=\rho g h=\rho g\cdot 3,0.
  • A área do fundo é
A_{\text{fundo}} = 5,0\times4,0 = 20,0\\ \mathrm{m^2}.
  • A força sobre o fundo é então
F_{\text{fundo}} = p_{\text{fundo}} \, A_{\text{fundo}} = (\rho g \cdot 3,0)\cdot 20,0.
Agora os números:
\rho g \cdot 3,0 = 1000\times 9,8 \times 3,0 = 29\,400\\ \mathrm{Pa},
F_{\text{fundo}} = 29\,400 \times 20,0 = 588\,000\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: isso é o peso da coluna de água de base igual à área do fundo multiplicado por g e altura 3,0; mas atenção: a força sobre o fundo não é simplesmente o peso total da água (porque as paredes também recebem forças laterais), mas numericamente aqui combina dessa forma local.

Passo 4

Força sobre uma extremidade (montagem da integral) — ensinar o método da faixa horizontal:
  • Considere uma estreita faixa horizontal na extremidade, localizada à profundidade h (medida da superfície) com espessura \mathrm{d}h. Essa faixa tem comprimento horizontal igual à largura da piscina w=4,0\\ \mathrm{m} e altura \mathrm{d}h, portanto área da faixa
\mathrm{d}A = w\,\mathrm{d}h.
  • A pressão nessa faixa é p(h)=\rho g h. A força sobre a faixa é
\mathrm{d}F = p(h)\,\mathrm{d}A = (\rho g h)\,w\,\mathrm{d}h.
  • Para obter a força total sobre a extremidade integre de h=0 (superfície) até h=H (fundo), com H=3,0\\ \mathrm{m}:
F_{\text{uma extremidade}} = \int_{0}^{H} (\rho g h)\,w\,\mathrm{d}h = \rho g w \int_{0}^{H} h\,\mathrm{d}h.
  • Resolvendo a integral:
\int_{0}^{H} h\,\mathrm{d}h = \frac{H^2}{2}.
Portanto
F_{\text{uma extremidade}} = \rho g w \frac{H^2}{2}.

Passo 5

Avaliação numérica da força em uma extremidade e em ambas:
  • Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, w=4,0\\ \mathrm{m}, H=3,0\\ \mathrm{m}:
F_{\text{uma extremidade}} = 1000\times 9,8 \times 4,0 \times \frac{(3,0)^2}{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{(3,0)^2}{2}=\frac{9,0}{2}=4,5,
w\cdot \frac{H^2}{2}=4,0\times 4,5 = 18,0,
\rho g \times 18,0 = 1000\times 9,8 \times 18,0 = 176\,400\\ \mathrm{N}.
  • Essa é a força sobre uma extremidade. Como são duas extremidades idênticas, a força total sobre ambas é
F_{\text{ambas as extremidades}} = 2 \times 176\,400 = 352\,800\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) 5,88\times10^{5}\\ \mathrm{N}
(b) 3,528\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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