14.52 * PC O ponto com a maior profundidade de todos os oceanos da Terra é a Fossa das Marianas, com uma profundidade igual a
. (a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a pressĩo nessa profundidade? Use a densidade da água do mar. (b) A pressio real nesse ponto é igual a
; o valor que você calculou deve ser menor que esse porque, na realidade, a densidade da água varia com a profundidade. Usando o valor da compressibilidade da água c o valor real da pressão, ache a densidade da água no fundo da Fossa das Marianas. Qual es variação percentual da densidade da água?
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Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Profundidade da Fossa das Marianas:
(ou seja, ). - Pressão real no fundo:
(fornecida). - Pede:
(a) supondo água incompressível, calcular a pressão nessa profundidade;
(b) usando o valor da compressibilidade da água e a pressão real dada, achar a densidade da água no fundo e a variação percentual dessa densidade em relação à superfície. - Valores que vou usar (valores típicos e explicitados para a prova):
- densidade da água do mar na superfície:
(valor padrão para água do mar); - aceleração da gravidade:
; - pressão atmosférica ao nível do mar:
; - compressibilidade (compressibilidade volumétrica) da água:
(valor típico).
Observação: todos esses números serão usados explicitamente nos cálculos seguintes.
- densidade da água do mar na superfície:
Passo 2
Entendendo a física (aula rápida): pressão hidrostática
- A pressão absoluta a uma profundidade
numa coluna de líquido de densidade e gravidade é dada por
onde
é a pressão na superfície (pressão atmosférica).
- Aqui, para (a) assumimos água incompressível, logo
é constante e vale .
Explicando as variáveis:-
é a pressão absoluta no ponto a profundidade , -
é a pressão atmosférica na superfície, -
é a densidade do líquido (kg/m³), -
é a aceleração da gravidade (m/s²), -
é a profundidade (m).
-
Passo 3
Cálculo da pressão supondo água incompressível (aplicando a fórmula).
- Primeiro calcule a contribuição hidrostática
:
- Faço as contas passo a passo:
-
, -
-
- Agora somo a pressão atmosférica:
- Em notação conveniente (arredondando para três algarismos significativos):
Passo 4
Entendendo a compressibilidade (aula rápida)
- A compressibilidade volumétrica
é definida por
onde
é o volume do fluido. Como a massa é constante e
, uma variação de volume se relaciona com a variação de densidade por
. Substituindo obtém-se
- Isso significa que a taxa de variação relativa da densidade com a pressão é proporcional à compressibilidade. Para compressibilidade aproximadamente constante, integra-se:
- Assim a densidade em pressão
é
Essa fórmula é exata sob a hipótese de
constante; na prova pode-se também usar a aproximação de primeira ordem
para cálculos rápidos quando
.
Passo 5
Aplicando a fórmula à situação real (usar a pressão real fornecida)
- Valores usados:
, , , . - Calculo da diferença de pressão:
- Calculo do argumento do expoente:
- Logo a densidade no fundo é
- Calculo da exponencial (faço pela série ou calculadora mental):
-
- Portanto
Passo 6
Cálculo da variação percentual da densidade
- Diferença absoluta:
- Variação percentual relativa à superfície:
Passo 7
Cheque rápido com aproximação linear (útil na prova)
- Usando a aproximação
:
o que está bem próximo do valor exponencial
. Isso mostra que a aproximação linear dá um valor compatível, mas a exponencial é mais precisa.
Resposta
(a)
(b)
Variação percentual
(b)
Variação percentual