14.52 * PC O ponto com a maior profundidade de todos os oceanos da Terra é a Fossa das Marianas, com uma profundidade igual a 10,92 \mathrm{~km}. (a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a pressĩo nessa profundidade? Use a densidade da água do mar. (b) A pressio real nesse ponto é igual a 1,16 \times 10^{8} \mathrm{~Pa}; o valor que você calculou deve ser menor que esse porque, na realidade, a densidade da água varia com a profundidade. Usando o valor da compressibilidade da água c o valor real da pressão, ache a densidade da água no fundo da Fossa das Marianas. Qual es variação percentual da densidade da água?
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Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Profundidade da Fossa das Marianas: \,h=10,92\\ \mathrm{km} (ou seja, \,h=10920\\ \mathrm{m}).
  • Pressão real no fundo: \,P_{\text{real}}=1,16\times10^{8}\\ \mathrm{Pa} (fornecida).
  • Pede:
    (a) supondo água incompressível, calcular a pressão nessa profundidade;
    (b) usando o valor da compressibilidade da água e a pressão real dada, achar a densidade da água no fundo e a variação percentual dessa densidade em relação à superfície.
  • Valores que vou usar (valores típicos e explicitados para a prova):
    • densidade da água do mar na superfície: \,\rho_0=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor padrão para água do mar);
    • aceleração da gravidade: \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}};
    • pressão atmosférica ao nível do mar: \,P_0=1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa};
    • compressibilidade (compressibilidade volumétrica) da água: \,c=4{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{Pa^{-1}} (valor típico).
      Observação: todos esses números serão usados explicitamente nos cálculos seguintes.

Passo 2

Entendendo a física (aula rápida): pressão hidrostática
  • A pressão absoluta a uma profundidade \,h numa coluna de líquido de densidade \rho e gravidade g é dada por
P = P_0 + \rho g h,
onde \,P_0 é a pressão na superfície (pressão atmosférica).
  • Aqui, para (a) assumimos água incompressível, logo \rho é constante e vale \rho_0.
    Explicando as variáveis:
    • \,P é a pressão absoluta no ponto a profundidade \,h,
    • \,P_0 é a pressão atmosférica na superfície,
    • \,\rho é a densidade do líquido (kg/m³),
    • \,g é a aceleração da gravidade (m/s²),
    • \,h é a profundidade (m).

Passo 3

Cálculo da pressão supondo água incompressível (aplicando a fórmula).
  • Primeiro calcule a contribuição hidrostática \rho_0 g h:
\rho_0 g h = (1025)\times(9{,}80)\times(10920).
  • Faço as contas passo a passo:
    • 1025\times9{,}80 = 10045,
    • 10045\times10920 = 10045\times(10000+920)=100450000+9241400=109691400\\ \mathrm{Pa}.
  • Agora somo a pressão atmosférica:
P = P_0 + \rho_0 g h = 1{,}01\times10^{5} + 109691400 = 109792400\\ \mathrm{Pa}.
  • Em notação conveniente (arredondando para três algarismos significativos):
P \approx 1{,}10\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Entendendo a compressibilidade (aula rápida)
  • A compressibilidade volumétrica \,c é definida por
c = -\frac{1}{V}\frac{dV}{dP},
onde V é o volume do fluido. Como a massa é constante e \rho = m/V, uma variação de volume se relaciona com a variação de densidade por \,dV/V = -d\rho/\rho. Substituindo obtém-se
c = \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dP}.
  • Isso significa que a taxa de variação relativa da densidade com a pressão é proporcional à compressibilidade. Para compressibilidade aproximadamente constante, integra-se:
\frac{d\rho}{\rho} = c\,dP \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right) = c\,(P-P_0).
  • Assim a densidade em pressão P é
\rho(P) = \rho_0 \exp\!\big(c\,(P-P_0)\big).
Essa fórmula é exata sob a hipótese de c constante; na prova pode-se também usar a aproximação de primeira ordem \rho\approx\rho_0\big(1+c\,(P-P_0)\big) para cálculos rápidos quando c\,(P-P_0)\ll1.

Passo 5

Aplicando a fórmula à situação real (usar a pressão real fornecida)
  • Valores usados: \rho_0=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \,c=4{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{Pa^{-1}}, \,P=1{,}16\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}, \,P_0=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calculo da diferença de pressão:
\Delta P = P-P_0 = 1{,}16\times10^{8} - 1{,}01\times10^{5} = 115899000\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}15899\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calculo do argumento do expoente:
c\,\Delta P = (4{,}6\times10^{-10})\times(1{,}15899\times10^{8}) \approx 0{,}05329.
  • Logo a densidade no fundo é
\rho_{\text{fundo}} = \rho_0 \exp\!\big(c\Delta P\big) = 1025\exp(0{,}05329).
  • Calculo da exponencial (faço pela série ou calculadora mental):
    • \exp(0{,}05329)\approx1 + 0{,}05329 + \tfrac{(0{,}05329)^2}{2} + \tfrac{(0{,}05329)^3}{6}\approx1{,}05473.
  • Portanto
\rho_{\text{fundo}} \approx 1025\times1{,}05473 \approx 1081{,}1\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Cálculo da variação percentual da densidade
  • Diferença absoluta:
\Delta\rho = \rho_{\text{fundo}} - \rho_0 \approx 1081{,}1 - 1025 = 56{,}1\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Variação percentual relativa à superfície:
\text{variação percentual} = \frac{\Delta\rho}{\rho_0}\times100\% \approx \frac{56{,}1}{1025}\times100\% \approx 5{,}48\%.çã

Passo 7

Cheque rápido com aproximação linear (útil na prova)
  • Usando a aproximação \rho\approx\rho_0(1+c\Delta P):
\rho\approx1025\big(1+0{,}05329\big)=1025\times1{,}05329\approx1079{,}97\\ \mathrm{kg/m^{3}},
o que está bem próximo do valor exponencial 1081{,}1\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Isso mostra que a aproximação linear dá um valor compatível, mas a exponencial é mais precisa.

Resposta

(a) P \approx 1{,}10\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}
(b) \rho_{\text{fundo}} \approx 1081{,}1\\ \mathrm{kg/m^{3}}
Variação percentual \approx 5{,}48\%

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