14.51 ** Em uma demonstraçīo, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro
) por meio de uma alça presa a cada um deles. A seguir, ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir uma pressio absoluta
e entrega-os ao aluno musculoso da última fileira para que ele tente separá-los, (a) Designando por
a pressão atmosférica, qual é a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério? (b) Avalie sua resposta para o caso
atm e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Expressar a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério em função de
(pressão atmosférica), (pressão absoluta dentro da esfera) e do diâmetro . - (b) Avaliar numericamente essa força quando
e .
Informações dadas e notação que vamos usar:
-
= pressão atmosférica (valor simbólico na parte (a); usaremos para o cálculo numérico). -
= pressão absoluta dentro da esfera (dada numericamente em (b) como ). -
= diâmetro da esfera; definimos o raio . - Unidade final de força: newtons (
).
Passo 2
Ideia física e método: a força total que “segura” cada hemisfério vem do resultado das pressões atuando sobre suas superfícies. A pressão externa
empurra cada hemisfério para dentro; a pressão interna
empurra para fora. O que o aluno precisa fazer é aplicar uma força para contrabalançar a diferença de resultantes dessas pressões.
Um fato útil (e que vamos demonstrar) é: o resultado da força de uma pressão uniforme atuando sobre a superfície curva de um hemisfério é igual a
vezes a área projetada desse hemisfério no plano do “corte” (que é um círculo de raio
), ou seja, igual a
. Vou demonstrar isso por integração para você ver direitinho e aprender a aplicar na prova.
Um fato útil (e que vamos demonstrar) é: o resultado da força de uma pressão uniforme
Passo 3
Demonstração do resultado de integração (força resultante de uma pressão uniforme sobre um hemisfério).
Considere um elemento de área da superfície do hemisfério em coordenadas esféricas.
Para o hemisfério (superfície externa ou interna) com raio :
Para o hemisfério (superfície externa ou interna) com raio
- Um elemento de área é
, com o ângulo polar medindo desde o eixo que é perpendicular ao plano de corte (o eixo que passa pelo centro e é normal ao plano onde os hemisférios se juntam), e o ângulo azimutal. - A componente do elemento de força na direção desse eixo (digamos eixo
) é , porque a pressão age normal à superfície e a componente axial é o produto pela .
Agora integramos sobre o hemisfério:
varia de
a
e
de
a
. Assim,
Fatorando constantes e integrando:
Calculando as integrais:
Portanto
Conclusão: a resultante da pressão uniforme
sobre um hemisfério tem módulo
e está dirigida ao longo do eixo, para dentro se
for externo, para fora se for interno.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema:
- A pressão externa
aplicada sobre a superfície externa do hemisfério produz uma força dirigida para dentro de módulo . - A pressão interna
aplicada sobre a superfície interna do hemisfério produz uma força dirigida para fora de módulo .
O resultado líquido (para o hemisfério) empurrando-o para dentro é, portanto,
Para separar os hemisférios, o aluno precisa aplicar em cada hemisfério uma força para anular essa força líquida; isto é, deve puxar com força de mesma magnitude para fora. Assim a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério tem módulo
ou, escrevendo em função do diâmetro
(já que
):
Passo 5
Avaliação numérica para
e
.
Passos:
- Converter pressões para pascal:
- Diferença de pressão:
- Raio:
- Área projetada:
- Força:
Observação intuitiva: isso corresponde a cerca de
, ou seja, é uma força bem grande — por isso o aluno precisa ser “musculoso”.