14.51 ** Em uma demonstraçīo, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro D ) por meio de uma alça presa a cada um deles. A seguir, ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir uma pressio absoluta P e entrega-os ao aluno musculoso da última fileira para que ele tente separá-los, (a) Designando por P_{0} a pressão atmosférica, qual é a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério? (b) Avalie sua resposta para o caso P=0,025 atm e D=10,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Expressar a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério em função de P_{0} (pressão atmosférica), P (pressão absoluta dentro da esfera) e do diâmetro D.
  • (b) Avaliar numericamente essa força quando P=0{,}025\\ \text{atm} e D=10{,}0\\ \text{cm}.
Informações dadas e notação que vamos usar:
  • P_{0} = pressão atmosférica (valor simbólico na parte (a); usaremos P_{0}=1{,}000\\ \text{atm}=101325\\ \text{Pa} para o cálculo numérico).
  • P = pressão absoluta dentro da esfera (dada numericamente em (b) como 0{,}025\\ \text{atm}).
  • D = diâmetro da esfera; definimos o raio \displaystyle R=\frac{D}{2}.
  • Unidade final de força: newtons ( \text{N}).

Passo 2

Ideia física e método: a força total que “segura” cada hemisfério vem do resultado das pressões atuando sobre suas superfícies. A pressão externa P_{0} empurra cada hemisfério para dentro; a pressão interna P empurra para fora. O que o aluno precisa fazer é aplicar uma força para contrabalançar a diferença de resultantes dessas pressões.
Um fato útil (e que vamos demonstrar) é: o resultado da força de uma pressão uniforme p atuando sobre a superfície curva de um hemisfério é igual a p vezes a área projetada desse hemisfério no plano do “corte” (que é um círculo de raio R), ou seja, igual a p\pi R^{2}. Vou demonstrar isso por integração para você ver direitinho e aprender a aplicar na prova.

Passo 3

Demonstração do resultado de integração (força resultante de uma pressão uniforme sobre um hemisfério).
Considere um elemento de área da superfície do hemisfério em coordenadas esféricas.
Para o hemisfério (superfície externa ou interna) com raio R:
  • Um elemento de área é \displaystyle dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi, com \theta o ângulo polar medindo desde o eixo que é perpendicular ao plano de corte (o eixo que passa pelo centro e é normal ao plano onde os hemisférios se juntam), e \varphi o ângulo azimutal.
  • A componente do elemento de força na direção desse eixo (digamos eixo z) é dF_{z}=p\cos\theta\,dA, porque a pressão age normal à superfície e a componente axial é o produto pela \cos\theta.
Agora integramos sobre o hemisfério: \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e \varphi de 0 a 2\pi. Assim,
F_{z} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} p\cos\theta\;R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Fatorando constantes e integrando:
F_{z} = pR^{2}\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right).
Calculando as integrais:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}.
Portanto
F_{z} = pR^{2}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{2} = p\pi R^{2}.
Conclusão: a resultante da pressão uniforme p sobre um hemisfério tem módulo p\pi R^{2} e está dirigida ao longo do eixo, para dentro se p for externo, para fora se for interno.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema:
  • A pressão externa P_{0} aplicada sobre a superfície externa do hemisfério produz uma força dirigida para dentro de módulo P_{0}\pi R^{2}.
  • A pressão interna P aplicada sobre a superfície interna do hemisfério produz uma força dirigida para fora de módulo P\pi R^{2}.
O resultado líquido (para o hemisfério) empurrando-o para dentro é, portanto,
F_{\text{líquido}} = P_{0}\pi R^{2} - P\pi R^{2} = (P_{0}-P)\pi R^{2}.í
Para separar os hemisférios, o aluno precisa aplicar em cada hemisfério uma força para anular essa força líquida; isto é, deve puxar com força de mesma magnitude para fora. Assim a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério tem módulo
\boxed{F=(P_{0}-P)\,\pi R^{2}}
ou, escrevendo em função do diâmetro D (já que R=D/2):
\boxed{F=(P_{0}-P)\,\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}=(P_{0}-P)\,\dfrac{\pi D^{2}}{4}.}

Passo 5

Avaliação numérica para P=0{,}025\\ \text{atm} e D=10{,}0\\ \text{cm}.
Passos:
  1. Converter pressões para pascal:
P_{0}=1{,}000\\ \text{atm}=101325\\ \text{Pa},\qquad P=0{,}025\\ \text{atm}=0{,}025\times101325=2533{,}125\\ \text{Pa}.
  1. Diferença de pressão:
\Delta P = P_{0}-P = 101325 - 2533{,}125 = 98791{,}875\\ \text{Pa}.
  1. Raio:
R=\frac{D}{2}=\frac{0{,}10\\ \text{m}}{2}=0{,}050\\ \text{m}.
  1. Área projetada:
\pi R^{2} = \pi(0{,}050)^{2} = \pi\times0{,}0025 \approx 0{,}007853982\\ \text{m}^{2}.
  1. Força:
F = \Delta P\;\pi R^{2} \approx 98791{,}875\times0{,}007853982 \approx 775{,}8\\ \text{N}.
Observação intuitiva: isso corresponde a cerca de \dfrac{775{,}8}{9{,}81}\approx79{,}1\\ \text{kgf}, ou seja, é uma força bem grande — por isso o aluno precisa ser “musculoso”.

Resposta

F=(P_{0}-P)\,\dfrac{\pi D^{2}}{4}
F\approx7{,}76\times10^{2}\\ \text{N}

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