14.54 Determine a velocidade da caixa de 200 lb após 15 segundos se o motor opera com um rendimento (eficiência) de
. A potência de entrada do motor é
. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade da caixa após
.
Dados fornecidos (listei todos os valores numéricos e condições dadas):
- peso da caixa:
. - potência de entrada do motor:
. - rendimento (eficiência) do motor:
. - coeficiente de atrito cinético entre caixa e plano:
. - tempo:
. - a corda é horizontal (a força de tração age horizontalmente) e a polia é ideal (troca apenas a direção da força).
- pede-se a velocidade escalar da caixa após
.
Passo 2
Vamos traduzir os dados para unidades consistentes e calcular quantidades básicas que usaremos.
- Converter potência útil do motor (potência de saída) usando o rendimento:
Explicando:
é a potência fornecida ao motor; o motor só entrega uma fração
dessa potência ao eixo — o resto vira perdas. Então a potência disponível para puxar a caixa é
.
- Usaremos unidades inglesas usuais:
. Portanto primeiro calculemos em :
- Transformar o peso em massa (no sistema inglês usamos slugs):
Aqui
. Logo
Expliquei:
é uma força (em lb), para obter a massa num sistema imperial usamos
.
Passo 3
Calcular a força de atrito cinético constante.
A normal é igual ao peso porque a superfície é horizontal, então
Substituindo:
Explicando: é a força que se opõe ao movimento e tem módulo fixo porque a normal e
são constantes.
Passo 4
Relação entre potência, tração e velocidade.
Se
é a tração na corda (força horizontal que puxa a caixa) e
a velocidade da caixa, a potência usada para vencer forças e acelerar é
(para corda horizontal sem perdas adicionais). Portanto a tração vale
Explicando: potência é taxa de trabalho por tempo; trabalho por tempo feito pela tensão é
.
A força resultante que acelera a caixa é
Pela segunda lei de Newton:
Observação didática: essa equação é uma equação diferencial não linear para
porque a tração depende de
. Isso aparece sempre que a potência entregue é constante: para velocidade pequena a tração precisa ser grande (teoricamente tende a infinito quando
), o que indica que no modelo ideal há uma singularidade inicial — fisicamente haveria limites, mas matematicamente integrável e nos permite achar
para
.
Passo 5
Reescrever a equação de forma conveniente e separar variáveis para integrar.
Colocando
e
(esses são melhores para manipular), temos
Isolando
e separando variáveis:
Simplificar o lado esquerdo:
Agora integramos ambos os lados do instante inicial até
:
Passo 6
Fazer a integral do lado esquerdo explicitamente (passo a passo).
Queremos calcular
Fazemos uma técnica de decomposição:
Verificação (multiplicando ambos os lados por
):
, ok.
Integrando termo a termo:
Aplicando limites de
a
e igualando a
, obtemos
Simplificando:
Essa é a relação implícita entre
e
. Nosso objetivo é, dado
, resolver essa equação para
.
Passo 7
Substituir os valores numéricos nos parâmetros
e
.
Já calculamos
,
e
.
Agora
Observação de unidade:
tem dimensão de aceleração vezes velocidade (consistente com
ter dimensão de aceleração),
é uma aceleração.
Passo 8
Resolver numericamente a equação implícita para
:
Substituindo
,
e
:
Cálculo passo a passo (alguns passos numéricos para chegar à solução por tentativa/iteração):
- Calcular
:
- A equação fica numericamente
Usando tentativa e ajuste (ou um método numérico como Newton-Raphson), encontra-se a solução
Mostrei alguns palpites na busca:
-
dá lado direito menor que , -
dá lado direito maior que , - entre esses valores a solução converge para aproximadamente
.
Passo 9
Interpretação rápida (motivacional): a velocidade final está bem próxima da velocidade terminal previsível a partir de
, que seria
. Em
a caixa já quase alcançou essa velocidade limite no nosso modelo — então o número faz sentido fisicamente.