14.54 Determine a velocidade da caixa de 200 lb após 15 segundos se o motor opera com um rendimento (eficiência) de \eta=0,8. A potência de entrada do motor é 2,5 \mathrm{hp}. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é \mu_{\mathrm{c}}=0,2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade da caixa após 15\\ \mathrm{s}.
Dados fornecidos (listei todos os valores numéricos e condições dadas):
  • peso da caixa: W=200\\ \mathrm{lb}.
  • potência de entrada do motor: P_{\text{in}}=2,5\\ \mathrm{hp}.
  • rendimento (eficiência) do motor: \eta=0,8.
  • coeficiente de atrito cinético entre caixa e plano: \mu_{\mathrm{c}}=0,2.
  • tempo: t=15\\ \mathrm{s}.
  • a corda é horizontal (a força de tração age horizontalmente) e a polia é ideal (troca apenas a direção da força).
  • pede-se a velocidade escalar da caixa após 15\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos traduzir os dados para unidades consistentes e calcular quantidades básicas que usaremos.
  1. Converter potência útil do motor (potência de saída) usando o rendimento:
P_{\text{out}}=\eta\,P_{\text{in}}.
Explicando: P_{\text{in}} é a potência fornecida ao motor; o motor só entrega uma fração \eta dessa potência ao eixo — o resto vira perdas. Então a potência disponível para puxar a caixa é P_{\text{out}}.
  1. Usaremos unidades inglesas usuais: 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{s}. Portanto primeiro calculemos P_{\text{out}} em \mathrm{ft}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{s}:
P_{\text{out}}=\eta\cdot P_{\text{in}}=0{,}8\cdot 2{,}5\\ \mathrm{hp}=2{,}0\\ \mathrm{hp}.
P_{\text{out}}=2{,}0\cdot 550 = 1100\\ \mathrm{ft}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{s}.
  1. Transformar o peso em massa (no sistema inglês usamos slugs):
W=m g \quad\Rightarrow\quad m=\frac{W}{g}.
Aqui g=32{,}2\\ \mathrm{ft}/\mathrm{s}^2. Logo
m=\frac{200}{32{,}2}\\ \mathrm{slugs}\approx 6{,}211\\ \mathrm{slugs}.
Expliquei: W é uma força (em lb), para obter a massa num sistema imperial usamos m=W/g.

Passo 3

Calcular a força de atrito cinético constante.
A normal é igual ao peso porque a superfície é horizontal, então
F_{\mathrm{atrito}}=\mu_{\mathrm{c}} N = \mu_{\mathrm{c}} W.
Substituindo:
F_{\mathrm{atrito}}=0{,}2\cdot 200 = 40\\ \mathrm{lb}.
Explicando: é a força que se opõe ao movimento e tem módulo fixo porque a normal e \mu são constantes.

Passo 4

Relação entre potência, tração e velocidade.
Se T é a tração na corda (força horizontal que puxa a caixa) e v a velocidade da caixa, a potência usada para vencer forças e acelerar é P_{\text{out}} = T v (para corda horizontal sem perdas adicionais). Portanto a tração vale
T=\frac{P_{\text{out}}}{v}.
Explicando: potência é taxa de trabalho por tempo; trabalho por tempo feito pela tensão é T\cdot v.
A força resultante que acelera a caixa é
F_{\text{res}}=T - F_{\mathrm{atrito}} = \frac{P_{\text{out}}}{v} - F_{\mathrm{atrito}}.
Pela segunda lei de Newton:
m\frac{dv}{dt}=F_{\text{res}} = \frac{P_{\text{out}}}{v} - F_{\mathrm{atrito}}.
Observação didática: essa equação é uma equação diferencial não linear para v(t) porque a tração depende de 1/v. Isso aparece sempre que a potência entregue é constante: para velocidade pequena a tração precisa ser grande (teoricamente tende a infinito quando v\to 0), o que indica que no modelo ideal há uma singularidade inicial — fisicamente haveria limites, mas matematicamente integrável e nos permite achar v(t) para t>0.

Passo 5

Reescrever a equação de forma conveniente e separar variáveis para integrar.
Colocando A=\dfrac{P_{\text{out}}}{m} e B=\dfrac{F_{\mathrm{atrito}}}{m} (esses são melhores para manipular), temos
\frac{dv}{dt} = \frac{A}{v} - B.
Isolando dt e separando variáveis:
\frac{dv}{\dfrac{A}{v}-B} = dt.
Simplificar o lado esquerdo:
\frac{dv}{\dfrac{A-Bv}{v}} = \frac{v\,dv}{A-Bv} = dt.
Agora integramos ambos os lados do instante inicial até t:
\int_{0}^{v} \frac{v'}{A-Bv'}\,dv' = \int_{0}^{t} dt' = t.

Passo 6

Fazer a integral do lado esquerdo explicitamente (passo a passo).
Queremos calcular
\int \frac{v}{A-Bv}\,dv.
Fazemos uma técnica de decomposição:
\frac{v}{A-Bv} = -\frac{1}{B} + \frac{A}{B(A-Bv)}.
Verificação (multiplicando ambos os lados por A-Bv): v = -\dfrac{A-Bv}{B} + \dfrac{A}{B} = v, ok.
Integrando termo a termo:
\int \frac{v}{A-Bv}\,dv = \int\left(-\frac{1}{B}\right)dv + \int \frac{A}{B(A-Bv)}\,dv = -\frac{v}{B} - \frac{A}{B^2}\ln|A-Bv| + C.
Aplicando limites de 0 a v e igualando a t, obtemos
t = \left(-\frac{v}{B} - \frac{A}{B^2}\ln|A-Bv|\right) - \left(0 - \frac{A}{B^2}\ln A\right).
Simplificando:
t = -\frac{v}{B} + \frac{A}{B^2}\ln\!\left(\frac{A}{A-Bv}\right).
Essa é a relação implícita entre v e t. Nosso objetivo é, dado t=15\\ \mathrm{s}, resolver essa equação para v.

Passo 7

Substituir os valores numéricos nos parâmetros A e B.
Já calculamos P_{\text{out}}=1100\\ \mathrm{ft}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{s}, F_{\mathrm{atrito}}=40\\ \mathrm{lb} e m\approx 6{,}211\\ \mathrm{slugs}.
Agora
A=\frac{P_{\text{out}}}{m}=\frac{1100}{6{,}211}\\ \frac{\mathrm{ft}\cdot\mathrm{lb}/\mathrm{s}}{\mathrm{slug}} \approx 177{,}16\\ \mathrm{ft}^2/\mathrm{s}^3,
B=\frac{F_{\mathrm{atrito}}}{m}=\frac{40}{6{,}211}\\ \mathrm{lb}/\mathrm{slug} \approx 6{,}4387\\ \mathrm{ft}/\mathrm{s}^2.
Observação de unidade: A tem dimensão de aceleração vezes velocidade (consistente com A/v ter dimensão de aceleração), B é uma aceleração.

Passo 8

Resolver numericamente a equação implícita para v:
t = -\frac{v}{B} + \frac{A}{B^2}\ln\!\left(\frac{A}{A-Bv}\right).
Substituindo t=15, A e B:
15 = -\frac{v}{6{,}4387} + \frac{177{,}16}{(6{,}4387)^2}\ln\!\left(\frac{177{,}16}{177{,}16 - 6{,}4387\,v}\right).
Cálculo passo a passo (alguns passos numéricos para chegar à solução por tentativa/iteração):
  • Calcular A/B^2:
\frac{A}{B^2}\approx \frac{177{,}16}{(6{,}4387)^2}\approx 4{,}2746.
  • A equação fica numericamente
15 \approx -0{,}15532\,v + 4{,}2746\ln\!\left(\frac{177{,}16}{177{,}16 - 6{,}4387\,v}\right).
Usando tentativa e ajuste (ou um método numérico como Newton-Raphson), encontra-se a solução
v \approx 27{,}21\\ \mathrm{ft/s}.
Mostrei alguns palpites na busca:
  • v=27{,}00\\ \mathrm{ft/s} dá lado direito menor que 15,
  • v=27{,}30\\ \mathrm{ft/s} dá lado direito maior que 15,
  • entre esses valores a solução converge para aproximadamente 27{,}21\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 9

Interpretação rápida (motivacional): a velocidade final está bem próxima da velocidade terminal previsível a partir de T=F_{\mathrm{atrito}}, que seria v_{\infty}=P_{\text{out}}/F_{\mathrm{atrito}}=1100/40=27{,}5\\ \mathrm{ft/s}. Em 15\\ \mathrm{s} a caixa já quase alcançou essa velocidade limite no nosso modelo — então o número faz sentido fisicamente.

Resposta

27,21\\ \mathrm{ft/s}

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