EXERCÍCIO 14
A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: \varepsilon_{a}=475 \times 10^{-6}, \varepsilon_{b}=250 \times 10^{-6} e \varepsilon_{c}=-360 \times 10^{-6}. Determine as deformações principais no plano.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as deformações principais no plano dadas as leituras da roseta. Informações relevantes fornecidas (peguei essas informações da imagem):
  • Leitura do extensômetro a: \varepsilon_{a}=475\times10^{-6}.
  • Leitura do extensômetro b: \varepsilon_{b}=250\times10^{-6}.
  • Leitura do extensômetro c: \varepsilon_{c}=-360\times10^{-6}.
  • Orientação dos extensômetros conforme a imagem: a alinhado com x (ângulo 0^\circ), b a 45^\circ em relação a x, e c alinhado com y (ângulo 90^\circ).
O objetivo final é encontrar as duas deformações principais \varepsilon_1 e \varepsilon_2 no plano.

Passo 2

Relembrando a fórmula de transformação de deformações (essa é a ferramenta que vamos usar). Para um sistema de eixos x,y com deformações normais \varepsilon_x,\varepsilon_y e deformação de cisalhamento de engenharia \gamma_{xy}, a deformação medida por um extensômetro orientado a um ângulo \theta (medido a partir de x) é:
\varepsilon_{\theta}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\cos(2\theta)+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin(2\theta).
Explicando os termos:
  • \varepsilon_x e \varepsilon_y são as deformações normais nas direções x e y.
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia (ou seja, \gamma_{xy}= \text{engenharia}\;= soma dos deslocamentos angulares).
  • \varepsilon_{\theta} é a deformação medida por um extensômetro que tem sua grade orientada a \theta.
No caso da roseta de 0^\circ,45^\circ,90^\circ temos:
  • Para \theta=0^\circ (extensômetro a): \cos(0)=1,\\ \sin(0)=0 e logo \varepsilon_{a}=\varepsilon_x.
  • Para \theta=90^\circ (extensômetro c): \cos(180^\circ)=-1,\\ \sin(180^\circ)=0 e logo \varepsilon_{c}=\varepsilon_y.
  • Para \theta=45^\circ (extensômetro b): \cos(90^\circ)=0,\\ \sin(90^\circ)=1 e logo
\varepsilon_{b}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\frac{\gamma_{xy}}{2}.

Passo 3

Usando o que vimos no passo anterior, identifiquemos \varepsilon_x,\varepsilon_y com as leituras a e c:
\varepsilon_x=\varepsilon_{a}=475\times10^{-6},\qquad \varepsilon_y=\varepsilon_{c}=-360\times10^{-6}.
Agora isolamos \gamma_{xy} a partir da equação para \varepsilon_{b}:
\varepsilon_{b}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\frac{\gamma_{xy}}{2} \quad\Rightarrow\quad \gamma_{xy}=2\varepsilon_{b}-(\varepsilon_x+\varepsilon_y).
Substituindo os valores dados:
\varepsilon_x+\varepsilon_y=(475-360)\times10^{-6}=115\times10^{-6},
\gamma_{xy}=2(250\times10^{-6})-115\times10^{-6}=(500-115)\times10^{-6}=385\times10^{-6}.

Passo 4

Fórmula para as deformações principais \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2}:
\varepsilon_{1,2}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
Vamos calcular cada termo com cuidado (usando unidades de 10^{-6}, ou seja, microdeformação \mu\varepsilon, para ficar mais claro nas contas).
Primeiro a média:
\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{115\times10^{-6}}{2}=57{,}5\times10^{-6}.
Depois os meados:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{475-(-360)}{2}\times10^{-6}=\frac{835}{2}\times10^{-6}=417{,}5\times10^{-6},
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{385}{2}\times10^{-6}=192{,}5\times10^{-6}.
Agora o termo dentro da raiz:
\left(417{,}5\times10^{-6}\right)^{2}+\left(192{,}5\times10^{-6}\right)^{2} = \left(417{,}5^{2}+192{,}5^{2}\right)\times10^{-12}.
Calculando os quadrados (em unidades \mu\varepsilon^2):
417{,}5^{2}=174306{,}25,\qquad 192{,}5^{2}=37056{,}25,
soma = 211362{,}5 (em \mu\varepsilon^{2}). A raiz dá (em \mu\varepsilon):
\sqrt{211362{,}5}\approx459{,}742\quad(\mu\varepsilon)=459{,}742\times10^{-6}.
Finalmente:
\varepsilon_1=57{,}5\times10^{-6}+459{,}742\times10^{-6}=517{,}242\times10^{-6},
\varepsilon_2=57{,}5\times10^{-6}-459{,}742\times10^{-6}=-402{,}242\times10^{-6}.
Arredondando com precisão razoável (três algarismos significativos nas partes relevantes):
\varepsilon_1\approx517{,}2\times10^{-6},\qquad \varepsilon_2\approx-402{,}2\times10^{-6}.

Resposta

\varepsilon_1=517{,}2\times10^{-6}
\varepsilon_2=-402{,}2\times10^{-6}

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